미분 (편미분이 아님)을 사용하여 d𝜃 / dx = -sin (𝜃) / r [duplicate] 증명
첨부 된 이미지에서 역행렬의 각 구성 요소를 증명하려고합니다. 나는 미분을 사용하고 다른 구성 요소를 해결하려고 시도했습니다. (이 방법으로 해결하고 싶습니다). 예를 들어 해결하려고하면$\frac{d\theta}{dx}$ (역행렬의 왼쪽 하단 [아래 첨부]) $$x = r cos(\theta)$$ –> $$dx = cos(\theta)dr - rsin(\theta)d\theta$$그런 다음 우리가 잡고 있음을 관찰 $r = constant$, 따라서 $dr = 0$. 나는 그것을 얻는다$\frac{d\theta}{dx} = \frac{- 1}{r sin(\theta)}$, 가깝습니다. 나는 이것을 부분 계산기에 넣고$\theta$ x와 r의 함수, $\theta = cos^{-1}\left(\frac{x}{r}\right) = \cos^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{x^2 +y^2}}\right)$. 복용$\frac{\partial \theta}{\partial x}$r이 x와 y의 함수이기 때문에 정답을 얻습니다. 내가 사용하면$cos^{-1}\left(\frac{x}{r}\right)$ 부분을 취하면 위에서 언급 한 것을 얻습니다 ($\frac{d\theta}{dx} = \frac{- 1}{r sin(\theta)}$). 또한 나는 dr in$dx = cos(\theta)dr - rsin(\theta)d\theta$ 사용하여 $r^2=x^2+y^2$ dr을 $rdr = xdx + ydy$나는 dy가 일정하다고 가정했습니다. 나에게 잘못된 대답을 주었다. 제가 한 일에 대한 조언도 좋을 수 있도록 논리적 사고력을 향상시키고 싶습니다. 감사합니다!
요약 : 저는 다음과 같은 차이 (부분이 아닌)를 사용하여 증명하려고합니다. $\frac{d\theta}{dx} = \frac{-sin(\theta)}{r}$
답변
문제는 그냥 쓸 수 없다는 것입니다 $\frac{d\theta}{dx}$. 열역학에는 정말 유용하고 중요한 표기법이 있습니다. 그들은 어떤 변수가 고정 된 채로 남아 있는지를 나타 내기 위해 첨자로 편도 함수를 씁니다. 예를 들어$z=f(x,y)$ 그리고 우리는 $f$ 에 관하여 $x$, 고정 $y$, 우리는 쓴다 $$\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)_y \quad\text{or}\quad \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_y.$$ 많은 변수가 날아 다니고 어떤 변수가 고정되어 있는지 아는 것이 중요하기 때문에 이것은 중요합니다.
귀하의 예에서 우리는 $(x,y)$ 의 기능으로 $(r,\theta)$. 그럼 우리가 쓰면$\partial x/\partial\theta$, 이것은 일반적으로 $\left(\frac{\partial x}{\partial\theta}\right)_r$. 고칠 때$r$, 그러면 사실이됩니다 (왜냐하면 우리는 본질적으로 1 차원 미적분을하기 때문입니다). $$\left(\frac{\partial\theta}{\partial x}\right)_r = \frac 1{\left(\frac{\partial x}{\partial\theta}\right)_r}.$$ 그러나 대신 계산을 시도하여 혼란 스럽습니다. $\left(\frac{\partial\theta}{\partial x}\right)_y$, 그리고 이들은 완전히 다른 두 개의 짐승입니다. 독립 변수를 추적하는 데 정말 주의 해야합니다 . 이를 변경하면 더 많은 체인 규칙이 적용됩니다.
다시 말해서 비교하려고합니다. \begin{align*} \left(\frac{\partial\theta}{\partial x}\right)_r &= -\frac1{r\sin\theta} = -\frac1y \quad\text{and} \\ \left(\frac{\partial\theta}{\partial x}\right)_y &= -\frac{y}{x^2+y^2} = -\frac{\sin\theta}r. \end{align*}
그건 그렇고, 경고하십시오. 일반적으로 우리는$\frac{\partial x}{\partial\theta} = \frac1{\frac{\partial\theta}{\partial x}}$. 사실, 이후$x=r\cos\theta$, 우리는 $\partial x/\partial\theta = -r\sin\theta$ (이것은 $-y$). 반면에$\theta =\arctan(y/x)$ (적어도 $-\pi/2<\theta<\pi/2$), 우리는 $\partial\theta/\partial x = -\frac y{x^2+y^2}$, 매우 다른 $-y$. 이건 너의$-\sin\theta/r$, 물론이야. 올바른 관계는 완전한 미분 행렬 (야 코비 행렬이라고 함)에서 비롯됩니다.$2\times 2$ 행렬.
미분 (사실상 미분 형태)을 사용하여이 모든 작업을 올바르게 수행 할 수 있지만 독립 변수가 누구인지 계속 추적해야합니다. 그리고 당신은 정말 있어야합니다 같은 것들을 작성 중지$d\theta/dx$ 아니면 $\theta$정말 기능입니다 단지 하나 개의 변수는$x$. 첫 번째 공식을 얻으려면 다음과 같이 작성해야합니다.$d\theta$ 단지 측면에서 $dx$ 과 $dr$; 두 번째를 얻으려면 작성해야합니다$d\theta$ 평소의 관점에서 $dx$ 과 $dy$. 그것은 독립 변수 무엇 단지 질문 들 입니다.