미분 연산자의 로그 행렬은 무엇입니까 ( $\ln D$)? 다양한 수학 분야에서이 연산자의 역할은 무엇입니까?

Feb 01 2021

Babusci와 Dattoli, 미분 연산자의 대수 arXiv : 1105.5978 은 몇 가지 훌륭한 결과를 제공합니다.\begin{align*} (\ln D) 1 & {}= -\ln x -\gamma \\ (\ln D) x^n & {}= x^n (\psi (n+1)-\ln x) \\ (\ln D) \ln x & {}= -\zeta(2) -(\gamma+\ln x)\ln x. \end{align*} 매트릭스가 무엇인지 궁금합니다. 아니면 함수에 적용하는 방법이 있나요?

다양한 수학 분야에서 직관적 인 역할은 무엇입니까?

답변

4 CarloBeenakker Feb 01 2021 at 14:23

푸리에 변환시 $x\mapsto k$, 이것은 행렬 요소가있는 대각 연산자가됩니다. $\langle k|\ln D|k'\rangle=2\pi \delta(k-k')\ln k$. 따라서 행렬 요소를 찾으려면$x$-대수의 푸리에 변환을 반전해야하는 표현 $\ln k$. 푸리에 변환에 대한 이 MSE 답변 에서$\ln |k|$ (절대 값 기호로) 나는 결론을 내릴 것입니다 $$\langle x|\ln D|x'\rangle=\left(\frac{i \pi}{2}-\gamma\right) \delta (x-x')+\text{P.V.}\left(\frac{1}{2 (x-x')}-\frac{1}{2 | x-x'| }\right).$$

이 표기법은 $\ln D$ 기능 수행 $f(x)$ 새로운 기능을 생성 $g(x)$ 주어진 $$g(x)=\int_{-\infty}^\infty \left[\left(\frac{i \pi}{2}-\gamma\right) \delta (x-x')+\text{P.V.}\left(\frac{1}{2 (x-x')}-\frac{1}{2 | x-x'| }\right)\right]f(x')\,dx'$$ $$=\left(\frac{i \pi}{2}-\gamma\right) f(x)+\frac{1}{2}\,\text{P.V.}\int_{-\infty}^\infty \left(\frac{1}{x-x'}-\frac{1}{| x-x'| }\right)\,f(x')\,dx'.$$

3 TomCopeland Feb 10 2021 at 04:54

의 해석 $\ln(D)$ 일반적인 미분 연산자와 분수 정수 미분 연산자 (FID)에 대한 양의 정수 거듭 제곱 중에서 선택하는 보간, 즉 $D$실수 (또는 분석적 연속을 통한 복소수)로 지수화되며, 이는 FID가 작동하는 기능에 따라 달라집니다. 아래에 설명 된 확장은 B & D의 세 가지 ID를 생성하며 Pincherle이 모든 합법적 인 FID 제품군에 부과 한 속성과 일치합니다 ( 1/2 미분 에 대한 MO-Q 및 분수 미적분 에 대한 MO-Q 참조 ). 복잡한 변수에있는 전체 함수의 '기본 집합'에 대한 작업으로 정의 할 수 있습니다.$\omega$ 같이

$$D_x^{\alpha} \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} = H(x) \frac{x^{\omega-\alpha}}{(\omega-\alpha)!} ,$$

어디 $H(x)$ 헤비 사이드 스텝 함수이고 $\alpha$ 과 $\omega$ 일반화 함수 및 분포 이론에서 일반적인 식별을 가진 임의의 복소수 일 수 있습니다.

$$(-1)^n \delta^{(n)}(x) = H(x) \frac{x^{-n-1}}{(-n-1)!},$$

와 $n=0,1,2,3,...$.

이것은 실제 라인에 대한 푸리에 변환 또는 이와 관련된 의사 차이 연산 / 심볼과는 거의 관련이 없습니다. 특히,$D^{\alpha}$ 여기에 곱셈과 관련이 없습니다. $(i 2 \pi f)^{\alpha}$주파수 공간에서. 다른 곳에서는이 FID의 다양한 등가 컨벌루션 반복을 1) 정규화 된 코시 복합 윤곽 적분의 변환을 통한 원 위의 FT, 2) 다음으로 확대를 통해 오일러 베타 함수의 적분 반복의 분석적 연속을 보여줍니다. Hadamard 유한 부분 또는 Pochhammer 윤곽선을 통한 실제 선분 또는 정규화를 따른 적분의 복소 평면, 3) 생성 함수의 동작을 통한 표준 미분 연산자의 Mellin 보간$e^{tD_x}$, Ramanujan의 마스터 공식의 연산자 적용 또는 4) 일반화 된 이항 계수의 sinc 함수 / 기수 급수 보간.

위의 FID 정의가 얼마나 실행 가능한지 살펴 보겠습니다. FID와 세 가지 B & D ID의 무한 소자 생성기 (infinigen)와의 연결; Appell Sheffer 다항식 시퀀스의 형식주의와의 연결, 따라서 대칭 다항식 / 함수 이론; 및 인피니 젠 및 FID의 매트릭스 반복.

무한소 생성기가 $IG$ 그런 존재

$$ e^{\alpha \; IG} \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} = D_x^{\alpha} \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} = H(x) \frac{x^{\omega-\alpha}}{(\omega-\alpha)!} = e^{-\alpha D_{\omega}} \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!},$$

그런 다음 공식적으로

$$D_{\alpha} \; e^{\alpha IG} \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} |_{\alpha =0} = IG \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} = \ln(D_x) \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!}$$

$$ = D_{\alpha} \; H(x) \; \frac{x^{\omega-\alpha}}{(\omega-\alpha)!} |_{\alpha =0} = -D_{\omega} \;\frac{x^{\omega}}{\omega!}$$

$$ = [\; -\ln(x) + \psi(1+\omega) \;] H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} $$

$$ = [ \; -\ln(x) + \psi(1+xD_x) \;] \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!}, $$

그리고 인피니 젠은

$$ \ln(D_x) := IG = -\ln(x) + \psi(1+xD_x),$$

어디 $\psi(x)$ 디 감마 함수로, 복소면에서 변형 함수로 정의 할 수 있으며 다음 위치에서 리만 제타 함수의 값과 밀접하게 관련되어 있습니다. $s = 2,3,4,...$.

일부 담당자 (B & D와 동일한 신원을 제공)는

$$IG \; f(x)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{|z-x|=|x|}\frac{-\ln(z-x)+\lambda}{z-x}f(z) \; dz$$

$$=(-\ln(x)+\lambda) \; f(x)+ \int_{0}^{x}\frac{f\left ( x\right )-f(u)}{x-u}du$$

$$ = [\; -\ln(x)+ \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \beta}\ln[\beta!]\mid _{\beta =xD} \; ] \; f(x)=[ \; -\ln(x)+\Psi(1+xD) \;] \; f(x)$$

$$ = [ \; -\ln(x)+\lambda - \sum_{n=1}^{\infty } (-1)^n\zeta (n+1) \; (xD)^n \;] \; f(x)$$

어디 $\lambda$ Euler-Mascheroni 상수와 관련이 있습니다. $\lambda=D_{\beta} \; \beta! \;|_{\beta=0}$.

위의 반복에 도달하는 다른 반복 및 기타 방법은 아래 참조에 나와 있습니다.

Infinigen에 대한 명시 적 diff op 공식의 지수화시 수렴 문제를 해결하고 대칭 다항식 / 함수 이론과의 연결을 허용하는 Appell Sheffer 다항식 시퀀스의 형식주의를 통해 방법을 살펴 보겠습니다.

다항식의 관련 Appell 시퀀스 $p_n(z) = (p.(z))^n$ 지수 생성 함수가 있으며 복합 변수 전체가 $t$즉, Taylor 시리즈가 전 세계적으로 수렴하는 경우

$$\frac{1}{t!} \; e^{zt} = e^{a.t} \; e^{zt} = e^{(a.+z)t} = e^{p.(z)t} = \sum_{n\geq 0} p_n(z) \frac{t^n}{n!}$$

네 가지 일관된 방식으로 정의 된 상호 다항식 시퀀스 $\hat{p}(z)$

1) $t! \;e^{zt} = e^{\hat{a}.t} \; e^{zt} = e^{(\hat{a}.+z)t} = e^{\hat{p}.(z)t} $, egf,

2) $M_p \cdot M_{\hat{p}} = I $, 단항 검정력 기저에서 두 시퀀스의 하위 삼각 계수 행렬 측면에서 $z^n$ 단위 대각선으로,

삼) $p_n(\hat{p}.(z)) = \hat{p}_n(p.(z)) = (a. + \hat{a.}+z)^n = 1$, umbral convolutional inversion,

4) $D_z! \; z^n = e^{\hat{a.}D_z} \; z^n = (\hat{a.}+z)^n = \hat{p}_n(z)$, 운영 발전기.

Appell 다항식의 상승 연산은 $p_n(z)$ 정의

$$R_z \; p_n(z) = p_{n+1}(z)$$

~에 의해 주어진다

$$ R_z \; p_n(z) = \frac{1}{D_z!} \; z \; D_z! \; p_n(z) = \frac{1}{D_z!} \; z \; p_n(\hat{p}.(z))$$

$$ = \frac{1}{D_z!} \; z \; z^n = \frac{1}{D_z!} \; z^{n+1} = p_{n+1}(z),$$

상승 연산자의 연산자 활용 또는 '게이지 변환' $z$ 힘 단항식을 위해.

또한 연산자 정류자 $[A,B] = AB - BA$,

$$R_z = \frac{1}{D_z!} \; z \; D_z! = z + [\frac{1}{D_z!},z] \; D_z! .$$

이제 Rota가 유한 연산자 미적분을 위해 선전 한 Pincherle과 시조 연산자 미분을 다시 입력합니다. 그레이브스-Pincherle에 유도체 그레이브스-펴지 하이젠 베르크 - 바일 교환기에서 유래 전력$[D_z,z] = 1$ 여기서 정상적인 재정렬에 의해 멱급수로 표현되는 모든 함수를 의미합니다. $D_z$

$$[f(D_z),z] = f'(D_z) = D_t \; f(t) \; |_{t = D_z}.$$

이것은 행동에서 뒤 따르는 Pincherle 파생물 (PD)의 아바타입니다 $$[D^n,z] \; \frac{z^{\omega}}{\omega!} = [\;\frac{\omega+1}{(\omega+1-n)!} - \frac{1}{(\omega-n)!}\;] \; z^{\omega+1-n} = n \; D_z^{n-1} \; \frac{z^{\omega}}{\omega!},$$

그러나 PD는보다 일반적인 낮추고 올리는 (사다리) 작업에 유효합니다. $[L,R]= 1$.

그때

$$R_z = \frac{1}{D_z!} \; z \; D_z! = z + [\frac{1}{D_z!},z] \; D_z! = z + D_{t = D_z}\; \ln[\frac{1}{t!}] $$

$$ = z - \psi(1+D_z).$$

대체로 $ z = \ln(x)$

$$R_z = R_x = \ln(x) - \psi(1+ x D_x) = -IG = -\ln(D_x).$$

올리는 작업은 다음과 같이 정의됩니다.

$$ e^{t \; R_z} \; 1 = \sum_{n \geq 0} \frac{t^n}{n!} R_z^n \; 1 = e^{tp.(z)} = \frac{1}{t!} \; e^{zt},$$

전체 기능 $t$복잡한; 따라서,

$$e^{-t \; IG} \;1 = e^{t \;R_x} \; 1 = e^{t \; p.(\ln(x))} = \frac{x^t}{t!},$$

그래서

$$e^{-(\alpha+\beta) \; IG} \;1 = e^{(\alpha+\beta) \; R_x} \; 1 = e^{(\alpha+\beta) \; p.(\ln(x))} = \frac{x^{\alpha+\beta}}{(\alpha+\beta)!}, $$

$$ = e^{-\alpha \; IG} e^{-\beta \; IG} \;1 = e^{-\alpha \; IG} \; \frac{x^\beta}{\beta!} , $$

그리고 우리는 실제로

$$e^{-\alpha \; IG} = D_x^{-\alpha}$$

과

$$IG = \ln(D_x).$$

이제 PD를 $\ln(D)$, 형식주의의 점검과 매트릭스 담당자의 길로, 공식적으로

$$ [\ln(D),x] = [\ln(1-(1-D)),x] = \frac{1}{1-(1-D)} = \frac{1}{D} = D^{-1}.$$

이것은 일반적인 기능에 대한 정류자를 평가하여 명시적인 의미를 부여합니다. $g(x)$ 에 대한 적분 표현을 사용하여 원점에서 분석 ( '기초'집합으로 일반화 됨) $R_x = -\ln(D_x)$, 기부

$$[\ln(D_x),x] \; g(x) = [-R_x,x] \; g(x) = (-\ln(x)+\lambda) \; [x,g(x)]$$

$$ + \int_{0}^{x}\frac{xg(x)-ug(u)}{x-u} \; du - x \int_{0}^{x}\frac{g(x)-g(u)}{x-u} \; du$$

$$ = \int_{0}^{x} \; g(u) \; du = D_x^{-1} g(x).$$

그래서 우리는

$$[\ln(D_x),x] = [-R_x,x] = D_x^{-1} = [-\ln([-R_x,x]),x]$$

과

$$-R_x = \ln(D_x) = -\ln(D_x^{-1}) = -\ln([-R_x,x]),$$

암시

$$e^{R_x} =\exp[\ln([-R_x,x])] = [-R_x,x] = D_x^{-1}.$$

또한

$$\bigtriangledown^{s}_{n} \; c_n=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \binom{s}{n}c_n,$$

그때

$$R_x = -\ln(D_x) = \ln(D_x^{-1}) = \ln[1-(1-D_x^{-1})]$$

$$ = - \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n} \; \bigtriangledown^{n}_{k} D_x^{-k}, $$

where

$$D_x^{-1} \frac{x^{\omega}}{\omega!} = \frac{x^{\omega+1}}{(\omega+1)!}.$$

The finite difference op series is embedded in the derivative $D_{\alpha =0}$ of the Newton interpolator

$$ \frac{x^{\alpha+\omega}}{(\alpha+\omega)!} = \bigtriangledown^{\alpha}_{n}\bigtriangledown^{n}_{k}\frac{x^{\omega+k}}{(\omega+k)!}$$

$$ = \bigtriangledown^{\alpha}_{n}\bigtriangledown^{n}_{k} D_x^{-k} \;\frac{x^{\omega}}{\omega!}$$

$$ = [1-(1-D_x^{-1})]^{\alpha} \; \;\frac{x^{\omega}}{\omega!} = D_x^{-\alpha}\;\frac{x^{\omega}}{\omega!}. $$

For $\alpha = -m$ with $m = 1,2,...$ and $\omega = 0$, this Newton interpolator gives

$$D^m_x \; H(x) = \delta^{(m-1)}(x) = H(x) \; \frac{x^{-m}}{(-m)!} = \bigtriangledown^{-m}_{n}\bigtriangledown^{n}_{k} D_x^{-k} \; H(x)$$

$$ = \sum_{n \geq 0} (-1)^n \binom{-m}{n} \bigtriangledown^{n}_{k} \; H(x) \frac{x^k}{k!} = H(x) \; \sum_{n \geq 0} (-1)^n \binom{-m}{n} \; L_n(x)$$

$$ = H(x) \; \sum_{n \geq 0} \binom{m-1+n}{n} \; L_n(x), $$

which agrees in a distributional sense with the Laguerre polynomial resolutions of $f(x) = \delta^{(m-1)}(x)$ in the formulas of this MO-Q since, with $c_n = f_n$ in the notation there,

$$ f(x) = \sum_{n \geq 0} c_n \; L_n(x)$$

with

$$\sum_{n \geq 0} t^n \; c_n = \frac{1}{1-c.t} = \int_0^{\infty} e^{-x} \sum_{n \geq 0} t^n \; L_n(x) f(x) \; dx$$

$$ = \int_0^{\infty} e^{-x} \frac{e^{-\frac{t}{1-t}x}}{1-t} f(x) \; dx = \int_0^{\infty} \frac{e^{-\frac{1}{1-t}x}}{1-t} f(x) \; dx,$$

so, for the $m$-th derivative of the Heaviside function,

$$\frac{1}{1-c_{m,.}t}= \int_0^{\infty} e^{-x} \frac{e^{-\frac{t}{1-t}x}}{1-t} f(x) \; dx = \int_0^{\infty} \frac{e^{-\frac{1}{1-t}x}}{1-t} \delta^{(m-1)}(x) \; dx = \frac{1}{(1-t)^{m}},$$

and, therefore, the coefficients of the Laguerre series resolution of the $m$-th derivative of the Heaviside function are

$$c_{m,n} =(-1)^n \binom{-m}{n} = \binom{m-1+n}{n},$$

in agreement with the Newton interpolator.

Applying $D_x^{-1}$ iteratively to both sides of this identity establishes convergent interpolations for $\omega = 1,2,3,...$, and acting on the power basis within the binomial expansion of $\frac{x^{\omega}}{\omega!} = \frac{(1-(1-x))^{\omega}}{\omega!}$ should give convergent expressions as well.

Similarly for $\omega=0$, we have the Laplace transform (or more accurately, the modified Mellin transform central to Ramanujan's master formula via which the FIDs may be cast as Mellin interpolations of the standard derivatives),

$$\frac{1}{1-c.t} = \int_0^{\infty} \frac{e^{-\frac{1}{1-t}x}}{1-t} \frac{x^{\alpha}}{\alpha!} \; dx = (1-t)^{\alpha},$$

for $Re(\alpha) > -1$, giving

$$c_n = (-1)^n \binom{\alpha}{n}.$$

This Laplace transform and, therefore, the Newton interpolator can be analytically continued in several standard ways (e.g., blow-up from the real line to the complex plane via a Hankel contour, Hadamard finite part) to the full complex plane for $\alpha$. For the negative integer exponents, the Hankel contour contracts to the usual Cauchy contour rep for differentiation. The Hadamard-finite-part approach allows the Newton interpolator to be appropriately modified strip by strip to give the intended results.

Returning to the finite difference rep for $\ln(D_x)$, action of the infinigen on 1 then gives, for $x > 0$,

$$\ln(D_x) 1 = \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n} \; \bigtriangledown^{n}_{k} D_x^{-k} 1$$

$$ = \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n} \; \bigtriangledown^{n}_{k} \frac{x^k}{k!}$$

$$ = \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n} \; L_n(x) = -\ln(x)-.57721... , $$

where $L_n(x)$ are the Laguerre polynomials, in agreement with the first equation of B & D in the question.

Plots of the results of evaluation of the operator series truncated at $n=80$, or so, acting on $x^2$ and $x^3$ match the analytic results as well.

The matrix rep $M$ of the action of this integration op $D_x^{-1}$ on $x^n$ is simple enough in the power basis--a matrix with all zeros except for the first subdiagonal, or superdiagonal, depending on left or right matrix multiplication, with elements $(1,1/2,1/3,...)$.

The matrix rep for $R_x$ is then

$$ R_M = \ln[I-(I-M)] = - \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n} \; \bigtriangledown^{n}_{k} M^k. $$

Exponentiating,

$$D_x^{-\beta} = \exp(-\beta R_x)= (1-(1-D_x^{-1} ) )^{\beta} = \bigtriangledown^{\beta}_{n} \bigtriangledown^{n}_{k} (D_x^{-1})^k.$$

The associated matrix rep is

$$ \exp(-\beta R_M)= \bigtriangledown^{\beta}_{n} \bigtriangledown^{n}_{k} M^k.$$

(I haven't checked these matrix computations numerically as I normally would since my MathCad disc is in storage in another state.)

To act on non-integer powers of $x$, you must represent them as superpositions of the integer power basis as in the binomial expansion

$$x^{\alpha} = [1 - (1-x)]^{\alpha} = \bigtriangledown^{\alpha}_{n} \bigtriangledown^{n}_{k} x^k .$$

Alternatively, return to the $z$ rep and write down the matrix rep of the raising op $R_z$. This is a simple transformation of the infinite lower triangular Pascal matrix augmented with a first superdiagonal of all ones. OEIS A039683 has an example of the matrix equivalent of a raising op in the monomial power basis, also known as a production matrix in another approach (Riordan?) to polynomial sequences. Better in this case to switch to the divided power basis $z^n/n!$. Then the augmented Pascal matrix becomes the simple summation matrix of all ones. Multiply along the n-th diagonal by $c_n$ where $(c_0,c_1,..) = (1-\lambda,-\zeta(2),...,(-1)^k \; \zeta(k+1),...)$ to generate the matrix rep for the raising op, but since, e.g., $x^2=e^{2z}$, this quickly becomes a messy algorithm to apply compared to the finite difference rep.

Further references (not exhaustive):