Milnor & Stacheff의 질문-특성 클래스, Chern 클래스 구성

Aug 16 2020

다음 단락은 책에서 추출되었습니다.

이제 복잡한 특성 클래스의 귀납적 정의를 제공합니다. $n$-비행기 번들 $\omega=(\pi: E\to M)$. 표준을 구성하는 데 먼저 필요한 경우$(n-1)$-비행기 번들 $\omega_0$ 삭제 된 총 공간 초과 $E_0$. ($E_0$ 모든 0이 아닌 벡터의 집합을 나타냅니다. $E$.) 포인트 $E_0$ 섬유로 지정됨 $F$$\omega$ 0이 아닌 벡터와 함께 $v$그 섬유에서. 먼저 Hermitian 메트릭이 다음에 지정되었다고 가정합니다.$\omega$. 그런 다음 섬유$\omega_0$ 정의에 따르면, $v$ 벡터 공간에서 $F$. 이것은 차원의 복잡한 벡터 공간입니다.$n-1$, 그리고 이러한 벡터 공간은 분명히 새로운 벡터 번들의 섬유로 간주 될 수 있습니다. $\omega_0$ 위에 $E_0$.

질문 : 총 공간이 어떻게 $\omega_0$정의됩니다. 그러나 전체 공간의 토폴로지는 어떻게 정의됩니까? 그것에 대한 언급이 없습니다.

답변

1 ArcticChar Aug 16 2020 at 12:49

다음 매핑을 고려하십시오.

$\require{AMScd}$ \ begin {CD} \ pi ^ * E @ >>> E \\ @V \ bar \ pi VV @VV \ pi V \\ E @ >> \ pi> M \ end {CD}

풀백 번들을 유도하는 $\bar \pi : \pi^*E \to E$, 각각의 위치 $v\in E$, $$\bar\pi^{-1} (v) = \pi^{-1} (\pi(v)).$$ (즉, 섬유는 단지 섬유입니다 $F_x$, 어디 $x = \pi(v)$). $\pi^*E$풀백 번들의 토폴로지가 제공됩니다. 이후$E_0$ 의 하위 집합입니다 $E$, 제한은 번들을 제공합니다.

$$\tag{1} \bar\pi \big|_{\bar\pi^{-1}(E_0)} : \pi^*E\big|_{\bar\pi^{-1}( E_0)} \to E_0$$

그리고 번들 $\omega_0$이 책에서 구성한 것은 (1)의 하위 번들입니다. Plus에는 (1)에 의해 주어진 부분 공간 토폴로지가 있습니다.