모노를 보존하기위한 adjoint의 조건?
인접 쌍이 주어짐 $L \dashv R$ 그리고 모노 $f \in \text{Hom}(X, RY)$, 보장 할 몇 가지 조건은 무엇입니까 $\tilde{f} \in \text{Hom}(LX, Y)$아직도 모노인가요? 부속사에 의해 동등한 하위 범주로주의를 제한하면 분명히 이것은 쉬워 지지만 더 일반적인 조건을 원합니다. 이것은 사람들이 생각했을 것 같은 느낌이 들지만 이에 대한 참조를 찾을 수없는 것 같습니다.
이후 $\tilde{f} = \epsilon_Y \circ Lf$ (어디 $\epsilon$ 부속의 공동 단위), 그것을 보여주는 것으로 충분할 것입니다 $Lf$ 과 $\epsilon_Y$둘 다 모노입니다. 그러나이 조건은 제한적이며 충족하기 어렵습니다. 같이$L$왼쪽 인접 형이므로 모노와 잘 어울릴 이유가 없습니다 (모노가 분할되지 않는 한). 비슷하게,$\epsilon_Y$ 모노가 아닌 에피 인 경향이 있습니다.
떠오르는 한 가지는 $\epsilon_Y$모두 모노 일 필요 는 없습니다 . 가지고 있으면 충분합니다$\epsilon_Y \upharpoonright \text{im}(Lf)$모노 (범주가 이해하기에 충분히 풍부한 경우). 즉, 우리가 더 잘 할 수 있을지 모르겠습니다. 이 질문을 일으킨 문제에 어떤 것이 도움이 될지 확신 할 수 없기 때문에 가능한 한 많은 방법을 찾고 있습니다.
미리 감사드립니다!
답변
일반 인접 쌍의 경우 $L\dashv R$, 주어진 monic $f:X\to RY$, 그것의 부속물 $\tilde f=\epsilon_Y\circ Lf$ monic이 되려면 $Lf$ 모닉이되기도합니다 (사실 일반적으로 $p\circ q$ monic, 그럼 $q$monic이어야 함). 이 시점에서$\epsilon_Y\circ Lf$ 모노는 아마도 가장 쉽게 $\epsilon_Y$ 또한 monic이 되십시오 (그렇지 않으면 $f:X\to RY$ 사례별로 관심이 있습니다.)
실제로 $L\dashv R$정의한 의미에서 모든 모노를 보존 합니다.$\epsilon_Y:LRY\to Y$ 것입니다 그것은 정체성의 부속이기 때문에 MONIC해야$\def\id{\operatorname{id}}\id_{RY}$, 이것은 monic입니다. (보다 일반적으로$f:X\to RY$ 당신이 신경 쓰는 것은 동형이되고, 당신은 $\epsilon_Y$ monic.) 이것들을 결합하면
$L\dashv R$counit이 monic 인 경우에만 정의한 의미에서 monos를 보존합니다.$L$ 모노를 보존합니다.
그래서 어떤 의미에서 당신은 이것보다 더 잘할 수 없습니다. $L$ 모노를 보존하고 코 유닛이 모노가되도록합니다.
예를 들어, 여기 에서 제안 2.4 는 다음 과 같은 경우에만 counit이 분할 모닉이라고 말합니다.$R$비교적 확인하기 쉬운 상태입니다. 에 관해서$L$ 모노를 보존하기위한 충분한 조건은 $L$ 한계를 유지합니다 (예 : $L$또한 오른쪽 인접)이므로 예를 들어 다음과 같은 충분한 조건이 있습니다.
$L\dashv R$ 인접 트리플의 일부일 때마다 정의한 의미에서 모노를 보존합니다. $F\dashv L\dashv R$ 과 $R$ 가득.
예를 들어 $L:\mathbf{Top}\to\mathbf{Set}$ 건망증 펑터입니다. 그러면 왼쪽과 오른쪽이 인접하고 오른쪽이 인접합니다. $R:\mathbf{Set}\to\mathbf{Top}$세트에 codiscrete 토폴로지를 부여합니다. 세트의 맵이 공동 이산 공간 사이의 맵으로 자동으로 연속되기 때문에 오른쪽 인접도 완전히 충실합니다. (단,이 경우 이미 확인이 쉽습니다.$L$ 모닉을 보존하고 $\epsilon_Y:LRY\to Y$ 세트의 정체성입니다 $Y$ 많은 노력없이.)