무한 세트에 대한 합산 과정 일반화
오늘 나는 모든 정수의 합에 대해 궁금해했습니다. $\mathbb Z$.
우리는 알고 있습니다 $\mathbb Z$ 셀 수있는 집합입니다. 즉, 모든 요소를 나열 할 수 있습니다. $\mathbb Z$따라서 합계를 사용하여 문제를 해결할 수 있습니다.
$$\sum_{z\in \mathbb Z}z=\sum_{z=1}^\infty z + (-z) = 0$$
그래서 우리는 모든 정수의 합이 0입니다. 같은 주장으로 우리는 모든 유리수의 합이 $\mathbb Q$ 또한 0입니다.
내 첫 번째 질문은 :이 주장이 유효하고 정확합니까?
그런 다음 궁금합니다. 그러면 모든 실수의 합은 무엇입니까? $\mathbb R$?
반대로 $\Bbb Z$ 과 $\Bbb Q$, 세트 $\Bbb R$셀 수 없습니다. 이것은 숫자를 나열하는 것이 불가능하다는 것을 의미합니다.$\Bbb R$따라서 합계를 사용하여 모든 숫자를 합산하는 것은 불가능합니다. 내 마음에 가장 먼저 떠오른 것은 적분이었습니다. 나는 때때로 합산의 연속 버전과 같은 적분을 생각하는 경향이 있습니다. 따라서 모든 실수의 합을 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
$$\int_{-\infty}^\infty x \ dx = 0$$
이를 통해 셀 수없는 집합의 모든 요소를 합산 할 수 있습니다. 예를 들어 모든 요소의$(0,1)$,이 방법을 사용하면 다음과 같습니다.
$$\int\limits_{x\in (0,1)} x \ dx = \int_0^1 x \ dx = \frac{1}{2}$$
두 번째 질문은이 일반화가 맞습니까?
세 번째 질문은이 방법이 옳다고 가정하고 모든 비합리적인 숫자의 합을 계산하려고 할 때 발생합니다. 방법이 정확하면 모든 무리수의 합은 다음과 같습니다.
$$\int\limits_{x\in\mathbb I} x \ dx$$
그러나 나는 적분을 평가하는 방법을 모릅니다. 왜냐하면 (내가 말하려는 것에 대한 적절한 수학적 용어를 모르기 때문에 매우 엄격하지 않은 것 같으면 죄송합니다) 그것에 "Holes"가 들어 있습니다. 2 개의 비이성적 인 숫자 사이에는 합리적인 숫자가 있습니다!
함수를 통합하려고하면 $(0,1) \cup (2,3)$ 여기에도 구멍이 있지만 적분을 둘로 나눌 수 있습니다. $(0,1)$ 그리고 다른 하나는 $(2,3)$. 이것을 적분에서 활용하려고하면$\mathbb I$ 우리는 얻을 것이다 :
$$\sum_{q \in \Bbb I} \int\limits_{x\in\{q\}} x \ dx$$
그러나 이것에는 두 가지 문제가 있습니다.
첫째, 그 적분은 점에 대한 적분이고 그것은 0이됩니다. 따라서 셀 수없는 집합의 합이 항상 0이되기 때문에 이상적이지 않습니다.
여기서도 정규 합계를 사용할 수 없습니다. $\Bbb I$ 셀 수 없습니다.
그래서 우리는 그것을 적분으로 일반화하여 정규 합산을 피하려고 시도했지만 다시 튀어 나옵니다!
그래서 나의 세 번째이자 마지막 질문은 : 나의 일반화가 정확하지 않더라도이 적분을 평가하는 것이 가능합니까?
답변
이러한 가짜 추측은 다음과 같은 다양한 답변을 제공합니다. $\Sigma$Z
= 0 + 1 + 2-1 + 3-1 + ...
= 0 + 1 + 1 + 1 + 1 + ... =$\infty$
= 0-1-2 + 1-3 + 2-4 + 3-...
= 0-1-1-1-1-1-... =-$\infty$