면적이 최대 인 삼각형 $\frac{7}{12}$.

Question

거기에 있다고 가정하십시오 $75$세 점이 동일 선상에 있지 않도록 단위 큐브 내부의 점. 최대 면적을 가진 삼각형을 형성하는 위에 주어진 점에서 세 점을 선택할 수 있음을 증명하십시오.$\frac{7}{12}$. 주어진 데이터에서 삼각형의 면적을 얻는 것이 어떻게 가능합니까? 도와주세요. 미리 감사드립니다.

Answer 1

단위 큐브를 27 개의 큐브 크기로 나눕니다. $\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3}$.

pigeonhole 원칙에 따라이 큐브 중 하나는 75 점 중 3 점을 포함합니다. 주어진 조건에서 이러한 점은 동일 선상에 있지 않습니다. 그래서 그들은 삼각형을 형성합니다

측면 큐브 $a$, 삼각형의 최대 면적은 다음과 같습니다. $\frac{\sqrt{3}a^2}{2}$.

측면 용 $\frac{1}{3}$, 이것은 $\approx 0.0962 < \frac{7}{12}$

따라서이 세 점은 다음보다 작은 면적의 삼각형을 형성합니다. $\frac{7}{12}$

Answer 2

포인트 선택 $(0,0,0)$ 과 $(1,1,z)$ 과 $(1,1,0)$. 이 삼각형의 면적은$\frac{z}{\sqrt 2}$.

이제 선택 $z=\frac{7\cdot \sqrt 2}{12}$

나머지 72 개의 점을 배치하는 방법은 무한하므로 3 개의 점이 동일 선상에 있지 않도록하는 방법이 있어야합니다.

예를 들어 나머지 점은 평면에있을 수 있습니다. $z=\frac{7\cdot \sqrt 2}{12}$ 원형을 형성합니다.