프라임 증명 $p$ 단지 될 수 있습니다 $13$ [복제]

Question

을 고려하면 $p$ 둘 다 같은 소수입니다 $\frac{p-1}{4}$ 과 $\frac{p+1}{2}$ 또한 소수입니다. $p=13$. 내 시도 :하자$p_1,p_2$ 그런 소수이다 $$\frac{p-1}{4}=p_1$$ 과 $$\frac{p+1}{2}=p_2$$ 그래서 우리는 $$p=4p_1+1=2p_2-1$$ 이제 내가 코스의 가치를 유지하기 시작하면 $p_1=3,p_2=7,p=13$유일한 주요 세 쌍둥이로. 그러나 증명할 공식적인 방법이 있습니까?$13$ 유일한 가치 $p$.

Answer 1

당신은

$$\begin{equation}\begin{aligned} 4p_1 + 1 & = 2p_2 - 1 \\ 4p_1 & = 2p_2 - 2 \\ 2p_1 & = p_2 - 1 \\ p_2 & = 2p_1 + 1 \end{aligned}\end{equation}\tag{1}\label{eq1A}$$

와 $p_1$, 가능한 값을 모듈로 고려 $3$. 만약 그렇다면$p_1 \equiv 1 \pmod{3}$, 다음 $p_2 \equiv 0 \pmod{3}$, 이후 허용되지 않습니다. $p_2 \gt 3$. 또는$p_1 \equiv 2 \pmod{3}$, 다음 $p_2 \equiv 2 \pmod{3}$ 그래서 $p = 2p_2 - 1 \implies p \equiv 0 \pmod{3}$. 이것이 가능할 수있는 유일한 경우는$p_2 = 2$ 기부 $p = 3$, 하지만 $p = 4p_1 + 1$참을 수 없습니다. 이것은 유일한 가능한 경우를 남겨 둡니다.$p_1$, $p_2$ 과 $p$ 모두 프라임은 어디에 $p_1 = 3$, 귀하의 한 사례로 이어지는 $p = 13$.

Answer 2

가정 $p\equiv1\bmod3$이면 쉽게 확인할 수 있습니다. $\frac{p-1}4\equiv0\bmod3$, 그래서 $\frac{p-1}4=3$ 과 $p=13$.

가정 $p\equiv2\bmod3$, 비슷한 논리로 $\frac{p+1}2\equiv0\bmod3$ 과 $p=7$, 하지만 $\frac{p-1}4$ 정수가 아닙니다.

이후 $p>3$ 으로 $\frac{p-1}4$ 프라임, $p=13$.

Answer 3

분명히, $(p-1)/4\ne2,(p-1)/4\ge3\iff p\ge13$

그래서 만약 $(p-1)/4>3,$

어느 한 쪽 $(p-1)/4=6k+1,k\ge1$

$(p+1)/2=12k+3=3(4k+1)$

또는 $(p-1)/4=6k-1,k\ge1,p=?$