프라임 카운팅 기능과 관련된 일반적인 카운팅 기능이 있습니까?
프라임 카운팅 기능과 관련된 일반적인 카운팅 기능이 있습니까?
예를 들어 내가 N보다 작거나 같은 3의 모든 양의 정수 배수를 원한다고 가정하면 3의 배수가 N 계수 함수보다 작거나 같습니까?
때로는 소수의 곱의 모든 양의 정수배를 원할 수 있습니다 (예 : 15). N 계수 함수보다 작거나 같은 3과 5의 양의 배수가 있습니까?
답변
내 의견을 확장하기 위해 : 상상할 수 있다면 존재합니다. 정수에 속성이 있는지 여부를 단순히 계산하면 잘 정의되어야합니다. 모든 계수 함수는 각 정수에 대해 1 또는 0 인 표시기 함수의 누적 합계로 볼 수 있습니다.
귀하의 부동산에 대한 표시기 기능을 고려하십시오. $A$, $\chi_A(n)$. 당신이 지적했듯이 당신은 계수 기능을 정의 할 수 있습니다$\pi_A(n)$ [정확히 양의 정수에 관심이 있다고 가정] $$ \pi_A(n) = \sum_{k=1}^n \chi_A(k) $$이와 관련된 흥미로운 결과에는 차이 생성 기능이 포함됩니다. 소수의 경우$p_k$, 소수 계수 기능 $\pi_p(n)$ $$ \sum_{k=p_1}^\infty x^{\pi_p(k)} = \sum_{k=1}^\infty (p_{k+1}-p_k)x^k $$ 일반적으로 모든 계산 기능, 숫자 $a_k$, 상태 관련 $A$ $$ \sum_{k=a_1}^\infty x^{\pi_A(k)} = \sum_{k=1}^\infty (a_{k+1}-a_k)x^k $$ 예를 들어, 숫자 계산 기능 $\chi_n(n)=1$, 제공 $\pi_n(n)=n$ 과 $$ \sum_{k=1}^\infty x^{\pi_n(k)} = \sum_{k=1}^\infty (k+1-k)x^k=\frac{x}{1-x} $$ 이 경우 $\pi_n(n)$ 가장 빠르게 성장하는 계수 기능이며 선형 적으로 증가하고 있습니다.
사각형 표시기 기능 고려 $\chi_{\square}(n)$, 조건 있음 $\square(n):\sqrt{n}\in \mathbb{N}$, 그러면 우리는 $$ \pi_\square(n) = \sum_{k=1}^n \chi_\square(k) $$ 그때 $$ \sum_{k=1}^\infty x^{\pi_\square(k)} = \sum_{k=1}^\infty ((k+1)^2-k^2)x^k = \frac{3x-x^2 }{(x-1)^2} $$ 내가 가장 좋아하는 것 중 하나는 $\pi_p(\pi_p(n))$즉, 시퀀스 A073131 과 관련된 중첩 소수 계수 함수입니다.$$ \sum_{k=3}^\infty x^{\pi_p(\pi_p(k))} = \sum_{k=1}^\infty (p_{p_{k+1}} - p_{p_k})x^k $$ 그래서 우리는 볼 수 있습니다 $\pi_p(\pi_p(n))$ 3, 5, 11, 17, 31, 41, 59, 67, 83, 109, ... 또는 A006450 과 같은 소수 인덱스 소수를 계산합니다 . 엄격하게 증가하는 정수 시퀀스에는 인디케이터 함수, 따라서 계수 함수 및 차이 생성 함수가 있음을 알 수 있습니다. 다른 종류의 계산 함수를 중첩 할 수 있습니다. 예를 들면$$ \sum_{k=3}^\infty x^{\pi_\square(\pi_p(k))} = \sum_{k=1}^\infty (p_{(k+1)^2} - p_{k^2})x^k $$ 우리에게 말해 $\pi_\square(\pi_p(k))$ 인덱스가 square 인 소수를 계산 하고 이것은 일반적인 구성 체인이$$ \sum_{k=x}^\infty x^{\pi_{A} \circ \pi_{B} \circ \cdots \pi_{Z} \circ k} = \sum_{k=1}^\infty (z \circ \cdots \circ b \circ a \circ (k+1) - z \circ \cdots \circ b \circ a \circ (k))x^k $$그리고 계수 함수의 구성은 계수 함수이기도합니다 . 왜냐하면 오른쪽은 단지 용어의 차이이기 때문입니다.
귀하의 예 : 3의 양의 정수 배수는 다음과 같습니다.$3,6,9,12,...$, 표시기 함수는 잠재적으로 다음과 같이 작성 될 수 있습니다. $$ \chi_{m3}(n) = \bmod(1+2n^2,3) $$ 이와 관련된 계산 함수는 다음과 같습니다. $$ \pi_{m3}(n) = \left\lfloor \frac{n}{3} \right\rfloor $$바닥 함수에 대한 표기법을 사용합니다. 15의 배수에 대해 중첩 개념을 사용할 수 있습니다.$$ \pi_{m15} = \pi_{m3}(\pi_{m5}(n)) = \pi_{m5}(p_{m3}(n)) = \left\lfloor \frac{\left\lfloor \frac{n}{5} \right\rfloor}{3} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{\left\lfloor \frac{n}{3} \right\rfloor}{5} \right\rfloor $$ 이것은 다음으로 나눌 수있는 숫자를 계산해야합니다. $5$그 인덱스 에 의해 나눌$3$ 혹은 그 반대로도.