포트폴리오 위험에서 공분산 요소의 해석 및 단위
주어진 포트폴리오 위험은 $\mathbf{w}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{w}$ 어디 $\boldsymbol{\Sigma}$ 대각선 요소가있는 공분산 행렬입니다. $\sigma^2_{n}$ 개별 자산 수익률 차이이며 대각선을 벗어난 요소가 자산의 쌍별 공분산 인 경우 $\sigma_{n,\neg n}$
요소의 해석은 무엇입니까 $\sigma_{1,2}$ 에 $\boldsymbol{\Sigma}$, 단위를 어떻게 설명 하시겠습니까?
만약 $\sigma_{1,2}=0.1$ 다음과 같이 말하는 것이 맞습니까?
"자산 1의 이동은 평균적으로 자산 2의 수익률 이동과 10 % 표준 편차만큼 공존하며 그 반대의 경우도 마찬가지입니다."
답변
해석과 단위 문제, 즉 쉽게 직관적 인 답이 없다는 것은 양자 / 경제학자 등이 공분산에 대해 너무 많이 이야기하는 것을 피하는 경향이있는 이유입니다. 자주 사용되는]. 따라서 설명은 말할 것도없고 공분산을 포함하는 모든 것이 해석되어야하는 경우 기본값은 일반적으로 상관 관계로 표현하는 것이며, 이는 직관적 인 단위가 있습니다. 0 = 독립성 등으로 경계 [-1,1] 등이 있습니다.
Cor (1,2) = Cov (1,2) / (sd (1) * sd (2))
Cov (1,2) = Cor (1,2) * sd (1) * sd (2)
따라서 여기에서 "단위"는 각각 고유 한 단위를 가진 세 가지 측정 값의 제품 혼합입니다. 두 개의 변동성 및 경계있는 연관 측정 값입니다. 따라서 존재하지만 직관적 인 설명이 부족합니다.
가장 가까운 방법은 가중치 1과 2의 제품에서 단위 변경 당 포트폴리오 분산의 한계 변화로 공분산을 표현하는 것입니다. 이는 극도로 우아하지 않은 상태로 남아 있습니다.
기존 OLS 베타는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
베타 (1 | 2) = Cov (1,2) / Var (2) = E (d1) / d2
E (d1) = Cov (1,2) * d2 / Var (2)
따라서 Asset2의 +1 변경은 Asset1에 대한 분산 효과로 나눈 +0.1을 갖습니다. 이는 Asset2의 +1 시그마 이동이 Asset1의 표준 편차로 나눈 0.1을 갖는다는 것과 동일합니다. (Z = 1은 1 시그마 쇼크)
d1 / d2 = Cov (1,2) / Var (2)
d1 / z2 = Cov (1,2) / SD (2)
z1 / z2 = Cov (1,2) / (SD (1) * SD (2)) = Cor (1,2)!
따라서 위에서 직관적으로 만들려는 종류의 진술을 만드는 방법은 공분산을 (직관적 인) 단위없는 상관 관계로 변환하는 것입니다. 1 또는 2에서 하나의 시그마 이동은 다른 하나에 한계 Cor (1,2) 시그마 효과를 갖습니다.
그러나 이에 접근하면 여기에서 직관적 인 설명 결과를 생성하기 위해 항상 추가 메트릭 (절대 수익률, 부피 조정 수익률 또는 가중치 등 자체 단위 포함)을 통해 공분산을 처리해야합니다. 전통적인 w.Cov.w 공식은 포트폴리오 위험을 예측하는 데 효율적입니다. 그러나 해석과 설명에 있어서는 큰 실패를 겪습니다. 이것이 출판물이 필연적으로 관련 상관 행렬을 선호하는 이유입니다. 둘은 항상 동일한 결과 / 예측을 제공합니다. 둘 사이의 선택은 궁극적으로 예측 대 해석 (즉, 본질적으로 표현)의 문제입니다.
따라서 포트폴리오가 전적으로 consols 또는 단일 기간 할인 채권으로 구성되어 있다고 가정 해 보겠습니다. 이것은 주식에 대해 모호합니다.$$_iR_t=\frac{_ip_{t+1}}{_ip_t}\times\frac{_iq_{t+1}}{_iq_t}-1$$ 과 $$_jR_t=\frac{_jp_{t+1}}{_jp_t}\times\frac{_jq_{t+1}}{_jq_t}-1$$배당금의 효과를 무시한다면. 그러면 두 비율 분포의 제품 분포가 반환됩니다. CAPM과 같은 모델은 모든 매개 변수가 알려져 있고 아무도 추정을하지 않는다고 가정하여이 문제를 피합니다. 가벼운 가정 하에서 이러한 수익률에는 로그 공간에서도 정의 된 공분산 행렬이 없습니다.
그러나 질문과 관련하여 다음과 같은 매개 변수를 기억하는 것이 중요합니다. $\{\mu_i,\mu_j,\sigma_{i,j},\sigma_{i,i},\sigma_{j,j}\}$Frequentist 이론에서 고정 된 점으로 생각됩니다. CAPM과 같은 모델은 매개 변수가 랜덤 변수이기 때문에 베이지안 공간에서 작동하지 않습니다.
따라서 귀하의 질문에 대한 답변으로 $\sigma_{i,j}$공동 기대치에서 방향으로 서명 된 제곱 초과 / 적자 수익률입니다. 방향이있는 영역으로 생각할 수 있습니다.
일반적인 해석은 항상 분산에 따라 조정됩니다. $\beta_{i,j}=\frac{\sigma_{i,j}}{\sigma_{i,i}}.$
@develarist : 좀 더 읽어 봤는데 이렇게됩니다. (CAPM과 관련하여 이에 대해 이야기하지 않거나 Dave와의 현재 토론에 대해 언급하지 않음). 당신이 가지고 있다고 가정$\sigma_{(1,2)}$ 이는 주식 1과 주식 2의 공분산 (수익률)을 나타냅니다. $x$ 재고 1의 반품 (샘플) 및 $y$ 재고 2의 (샘플에서) 반품으로.
해석을 향한 첫 번째 단계는 $\sigma_{(1,2)}$ 그리고 그것을 주식 1의 수익률의 표본 분산으로 나눕니다. $\beta_{(1,2)}$. 그런 다음 이렇게하면$\beta_{(1,2)}$ 주식 1의 수익률과 주식 2의 수익률이 반응 인 stock_2의 주식 수익률에 대한 단순 회귀의 계수 (절편이 아님. 다른 하나)로 해석 될 수 있습니다.$y$)와 주식 1의 수익률이 예측 변수 ($x$).
사실 그 $\sigma_{(1,2)}$회귀 해석을 설명하기 위해서는 주식 1의 주식 수익률의 표본 분산으로 나누어야하기 때문에 0.1이라는 것은 큰 의미가 아닙니다. 물론, 주식 1 수익률의 표본 분산이 1.0 인 경우 공분산을 주식 1의 수익률이 증가 할 때마다 주식 2 수익률이 증가하는 추정량으로 해석 할 수 있습니다.
회귀를 뒤집고 주식 1의 수익을 (x) 응답으로 만들고 주식 2의 수익을 (y) 예측 변수로 만들면 (나를 혼란스럽게하는) 원래 게시물에서 언급 한 모순처럼 보이는 모순이 존재하지 않습니다. 공분산을 나누어야합니다. $\sigma_{(1,2)}$주식 1의 수익률 (x)의 표본 분산이 아니라 주식 2의 수익률 (y)의 표본 분산에 의해. 따라서 정의에 불일치가 없습니다. 이것이 명확 해지기를 바랍니다.
아, 또한 제가 말할 수있는 한, 제가 잘못 생각한 회귀의 공분산과 R ^ 2 사이에는 어떤 관계도없는 것 같습니다. 혼란에 대해 사과드립니다.