Ryder의 책에서 나온 전자 자기 에너지의 차원 정규화

Question

저는 Ryder의 교과서를 사용하여 전자 자기 에너지를 연구하고 있습니다. 334 페이지에서

정의 $k'=k-pz$ 선형이라는 용어를 피하십시오. $k'$(0으로 적분되기 때문에) \ begin {equation} \ Sigma (p) =-ie ^ 2 \ mu ^ {4-d} \ int_0 ^ 1dz \ gamma_ \ mu ({\ not} p-{\ not} p z + m) \ gamma ^ \ mu \ int \ frac {d ^ dk '} {(2 \ pi) ^ d} \ frac {1} {[k'^ 2-m ^ 2z + p ^ 2z (1 -z)] ^ 2}. \ label {r2.7} \ end {equation} [...]이 적분은 방정식 (9A.5)의 도움으로 수행되어 \ begin {equation} \ Sigma (p ) = \ mu ^ {4-d} e ^ 2 \ frac {\ Gamma (2- \ frac {d} {2})} {(4 \ pi) ^ {d / 2}} \ int_0 ^ 1dz \ gamma_ \ mu [{\ not} p (1-z) + m] \ gamma ^ \ nu [-m ^ 2z + p ^ 2z (1-z)] ^ {d / 2-2}. \ end {등식}

방정식 9A.5는 \ begin {equation} \ int \ frac {d ^ dp} {(p ^ 2 + 2pq-m ^ 2) ^ {\ alpha}} = (-1) ^ {d / 2} \입니다. imath \ pi ^ {d / 2} \ frac {\ Gamma \ left (\ alpha- \ frac {d} {2} \ right)} {\ Gamma (\ alpha)} \ frac {1} {[-q ^ 2-m ^ 2] ^ {\ alpha-d / 2}}. \ tag {9A.5} \ end {equation} 결과를 얻기 위해이 적분 (9A.5)을 어떻게 적용했는지 이해할 수 없습니다. \ begin {equation} \ Sigma (p) = \ mu ^ {4-d} e ^ 2 \ frac {\ Gamma (2- \ frac {d} {2})} {(4 \ pi) ^ {d / 2} } \ int_0 ^ 1dz \ gamma_ \ mu [{\ not} p (1-z) + m] \ gamma ^ \ nu [-m ^ 2z + p ^ 2z (1-z)] ^ {d / 2-2 }. \ end {equation} 아이디어를 얻을 수 있도록 도와주세요.

Answer 1

결과 (9A.5)를 적분에 적용하기 만하면됩니다. $d^d k^\prime$. 사실 전화$M^2 = m^2z-p^2z(1-z)$ 그리고 넣어 $q=0$ 적분 (9A.5) $$ \int\frac{d^dk'}{(2\pi)^d}\frac{1}{[k'^2-m^2z+p^2z(1-z)]^2} = \int\frac{d^dp}{(2\pi)^d}\frac{1}{[p^2-M^2]^2}=\frac{1}{(2\pi)^d}(-1)^{d/2}i\pi^{d/2}\frac{\Gamma\left(2-\dfrac{d}{2}\right)}{\Gamma(2)}\frac{1}{[-M^2]^{2-d/2}}$$

통합 변수를 방금 변경 한 $k^\prime$ ...에 $p$결과에서 더 명확하게하기 위해 9A.5. 사실을 사용하여$\Gamma(2) = 1$, 위의 정의를 사용하여 $M^2$ 그리고 당신이 얻는 약간 단순화 $$\frac{(-1)^{d/2}}{2^d}i\pi^{-d/2}\Gamma\left(2-\frac{d}{2}\right)[-m^2z+p^2z(1-z)]^{d/2-2} = \frac{i(-1)^{d/2}}{(4\pi)^{d/2}}\Gamma\left(2-\dfrac{d}{2}\right)[-m^2z+p^2z(1-z)]^{d/2-2}$$ 우리가 그 사실을 사용한 곳 $2^d = 4^{d/2}$

Answer 2

첫 번째 방정식의 두 번째 적분을 9A5의 그랜드에있는 ty he와 비교하십시오. 당신은 그것을 본다$\alpha \rightarrow 2$, $q \rightarrow 0$, $ -m^2 \rightarrow etc.$한 적분을 다른 적분으로 변환합니다. 9A5의 rhs에서 동일한 대체를 수행하면 원하는 결과를 얻을 수 있습니다.