"사전 순서"를 유지하면서 실제 좌표 공간을 초 실수로 매핑
기능 제안 $f:X^n \rightarrow \mathbb{R}$ 어디 $X$ 사전 식 순서가 유지되도록하는 유한 한 정수 집합입니다.
$$f(x_1, x_2, \ldots ,x_{n-1}, x_n)=\sum_{i=1}^{n}{x_i (\max(X))^{n-i}}$$
유사한 기능을 생각 해낼 수 있지만 "사전 순서"를 유지하면서 실제 좌표 공간을 초 실수로 매핑하는 기능 ($g:\mathbb{R}^n \rightarrow {}^*\mathbb{R}$)? 나는 실수의 경우 불가능하기 때문에 초 실수에 대해 묻는다 (Debreu, G. (1954). 수치 함수에 의한 선호 순서 표현. Decision process, 3 , 159-165.) 또한 나는 " 어휘 순서 (내 이해에 근거한)는 기술적으로 유한 집합 의 요소 시퀀스의 순서이기 때문에 따옴표가 포함 된 사전 순서 " 이지만 무한 집합의 요소 시퀀스를 포함하도록 개념을 확장하는 것은 비합리적으로 보이지 않습니다.$$(x_1, x_2, \dots ,x_{n-1}, x_n) \leq(y_1, y_2, \ldots ,y_{n-1}, y_n) \iff (x_1<y_1) \lor ((x_1=y_1) \land ((x_2<y_2) \lor \ldots ))$$
다음 작업을 원하십니까?
$$g(x_1, x_2, \ldots ,x_{n-1}, x_n)=\sum_{i=1}^{n}{x_i \omega^{n-i}}$$
답변
귀하의 이해가 정확합니다. 부분적으로 주문 된 두 세트가 주어지면$(A, <_A)$ 과 $(B, <_B)$ 우리는 항상 데카르트 곱에 사전 식 순서를 정의 할 수 있습니다. $A \times B$ 으로 $$(a_1, b_1) \leq_{\text{lex}} (a_2, b_2) \iff a_1 <_A a_2 \text{ or } (a_1 = a_2 \text{ and } b_1 <_B b_2);$$ 이것은 무한 제품의 경우에도 부분적으로 주문 된 세트의 유한 및 무한 제품으로 자연스럽게 확장됩니다. $\leq_{\text{lex}}$ 약간 다르게 작동합니다 (즉, 순서가 좋지 않음).
함수 $g: \mathbb R^n \to {}^*\mathbb R$당신이 정의하는 것은 실제로 그 일을합니다. 여기에 세부 사항이 있습니다.
허락하다 $\mathcal U$ 비 주요 한외 필터 $\mathbb N$, 그래서 ${}^* \mathbb R = \mathbb R^{\mathbb N} / \mathcal U$; 또한 그 이후로$\mathcal U$기본이 아닌 Fréchet 필터 가 포함되어 있으므로$\mathbb N$ 에있다 $\mathcal U$. 전체적으로$(a_n) \in \mathbb R^{\mathbb N}$ 우리는 등가 클래스를 ${}^* \mathbb R$ 으로 $[(a_n)]$. 또한 표준 번호는$r$ 에 ${}^*\mathbb R$ 상수 시퀀스의 등가 클래스로 지정됩니다. $(r, r, r, \dots)$, 그리고 $[(a_n)], [(b_n)] \in {}^*\mathbb R$, 다음 $$[(a_n)] < [(b_n)] \iff \{n \in \mathbb N: a_n < b_n \} \in \mathcal U. \tag {$\단검$}$$
이제 우리는 모두를 위해 $n \in \mathbb N$ 만약 $(x_1,x_2, \dots, x_n) \leq_{\text{lex}} (y_1, y_2, \dots, y_n)$ 에 $\mathbb R^n$, 다음 $g(x_1, x_2, \dots, x_n) \leq g(y_1, y_2, \dots, y_n)$ 에 ${}^*\mathbb R$. 우리는 강력한 귀납법으로 이것을합니다.$n$; 경우$n=1$ 사소한 것이므로 $ k \in \mathbb N^{>1}$ 결과가 모두에게 유지되도록 $n \leq k$ 그리고 그것을 가정 $(x_1, x_2 \dots, x_{k}, x_{k+1}) \leq_{\text{lex}} (y_1, y_2, \dots, y_k, y_{k+1})$. 두 가지 주요 사례가 있습니다.
- $\underline{x_1 < y_1}$. 우리는 모두를 위해$x_2, x_3, \dots, x_k, x_{k+1}, y_2, y_3, \dots, y_k, y_{k+1} \in \mathbb R$, 우리는 $$x_1\omega^k + \sum_{i=2}^{k+1}x_i\omega^{k+1-i} \leq y_1\omega^k + \sum_{i=2}^{k+1}y_i\omega^{k+1-i}. \tag{$\별$}$$ 모순이 아니라고 가정합니다. $x_2, x_3, \dots, x_k, x_{k+1}, y_2, y_3, \dots, y_k, y_{k+1} \in \mathbb R$ 그런 $$y_1\omega^k + \sum_{i=2}^{k+1}y_i\omega^{k+1-i} < x_1\omega^k + \sum_{i=2}^{k+1}x_i\omega^{k+1-i}.\tag{$\ ast$}$$ 이후 $\omega = [(1,2,3, \dots)] = [(n)]$, 작성자 $(\dagger)$ 우리는 그것을 가지고 $(\ast)$ 세트가 \begin{align} S &= \Bigg\{ n \in \mathbb N : y_1n^k + y_2n^{k-1} + \dots + y_{k+1}n^0 < x_1n^k + x_2n^{k-1} + \dots + x_{k+1}n^0 \Bigg\} \\ &= \Bigg\{ n \in \mathbb N: (y_1-x_1)n^k < (x_2-y_2)n^{k-1} + \dots + (x_{k+1} -y_{k+1} )n^0 \Bigg\} \\ &= \Bigg\{ n \in \mathbb N: (y_1 -x_1)n^k < \sum_{i=2}^{k+1}(x_i-y_i)n^{k+1-i}\Bigg\}\end{align} 한외 필터에 있습니다 $\mathcal U$. 반면에$x_1 < y_1$, 우리는 $0 < (y_1 -x_1) n^k$ 모든 $n \in \mathbb N$, 그래서 $(y_1 -x_1)n^k$ 엄격하게 증가하는 기능에서 $n$. 특히 존재한다$N \in \mathbb N$ 모두를 위해 $n \geq N$ 우리는 $(y_1-x_1)n^k \geq \sum_{i=2}^{k+1}(x_i-y_i)n^{k+1-i}$; 따라서 세트$$S' = \Bigg\{n\in \mathbb N : (y_1-x_1)n^k \geq \sum_{i=1}^{k+1}(x_i-y_1)n^{k+1-i}\Bigg\} $$ 공동 유한이므로 $S' \in \mathcal U$. 그러나$S' = S \backslash \mathbb N$, 그래서 우리는 $S \in \mathcal U$ 과 $S \backslash \mathbb N \in \mathcal U$, 사실과 모순되는 $\mathcal U$한외 필터입니다. 그러므로 우리의 가정은 거짓이며$(\star)$ 필요에 따라 다음과 같습니다.
- $\underline{x_1 = y_1 \text{ and } x_2 < y_2}$. 이후$x_1 = y_1$, 그것을 보여주는 $$x_1\omega^k +\sum_{i=2}^{k+1}x_i\omega^{k+1-i} \leq y_1\omega^k +\sum_{i=2}^{k+1}y_i\omega^{k+1-i} $$ 그것을 보여주는 단순화 $$\sum_{i=2}^{k+1}x_i\omega^{k+1-i} \leq \sum_{i=2}^{k+1}y_i\omega^{k+1-i}.\tag{$\ ddagger$}$$ 지금 정의 $(x'_1, x'_2, \dots, x'_k) = (x_2, x_3, \dots, x_{k+1})$ 과 $(y'_1, y'_2, \dots, y'_{k}) = (y_2, y_3, \dots, y_{k+1})$. 이후$x_2 < y_2$, 우리는 $x'_1 <y'_1$, 그래서 $(x'_1, x'_2, \dots, x'_k) \leq_{\text{lex}} (y'_1, y'_2, \dots, y'_{k})$ 정의에 의해 $\leq_{\text{lex}}$, 그리고 $(\ddagger)$ 된다 $$\sum_{i=1}^{k}x'_i\omega^{k-i} \leq \sum_{i=1}^{k}y'_i\omega^{k-i};\tag{$\ star \ star$}$$ 귀납적 가설에 의해 $(\star\star)$ 따라서 그렇습니다 $(\ddagger)$ 그리고 우리는 끝났습니다.
다른 경우 (말한다 $x_1 = y_1$, $x_2= y_2$ 과 $x_3 < y_3$) 강력한 유도 가정을 사용하여 위의 요점에서와 동일한 주장을 따릅니다.