삼각형 중심의 속성

Question

$M$ 삼각형에서 세 비안 3 개의 교차점 $ABC$.

$$AB_1 = x,\quad CA_1 = y,\quad BC_1= z.$$

Nagel 과 Gergonne 점 모두에 대해 다음 방정식이 참 이라는 것을 쉽게 증명할 수 있습니다 .$$S = xyz / r,$$ 어디 $S$ 삼각형의 면적 $ABC$ 과 $r$ 내접원의 반경입니다.

다른 삼각형 중심이 동일한 속성을 가질 수 있으며 기하학적 위치가 무엇인지 궁금합니다.

또한, 포인트 $M$ 공식이 다음과 같이 보이는 중심입니다. $S = 2xyz/R$, 어디 $R$circumcircle의 반경입니다. 치환$x = b/2$, $y = a/2$, $z = c/2$ 다시 클래식으로 $S = abc/4R$. 아마도 다른 삼각형 중심이 존재할 수도 있습니다.$S = 2xyz/R$그들에게도 마찬가지입니다. 나는이 가설적인 점들이 중심과 어떤 특별한 관계가 있는지 궁금합니다.$ABC$?

Answer 1

이것은 위의 주석에 대한 코다이지만 주석에는 너무 깁니다. 만약$M$ 무게 중심 좌표가 있습니다. $(\lambda,\mu,\nu)$ (반드시 긍정적이고 정규화되지 않았으므로 $\lambda+\mu+\nu=1$), 두 조건 모두 다음 형식의 3 차 방정식으로 축소됩니다. $$ \frac{\lambda\mu\nu}{(\mu+\nu)(\nu+\lambda)(\lambda+\mu)} $$ 삼각형의 (모양)에 의존하고 명시 적으로 쉽게 계산할 수있는 상수입니다.

특정 센터 (센터 기능 포함)인지 확인하기 위해 $f$ Encyclopedia of Triangle Centers에서 $f(a,b,c)+f(b,a,c)+f(c,a,b)=1$), 즉석에서이를 확인하기 위해 Mathematica에서와 같이 작은 프로그램을 작성하는 것이 쉬워야합니다.

Answer 2

GeoGebra는 X (7) X (8) X (506) X (507)을 찾았습니다.

추신 : GeoGebra에서 버그가 발견되었습니다.
곧 해결되기를 바랍니다. [편집 : 이제 수정 됨]