상동 성과 동질성 사이의 연관성
지난 학기에 나는 상동 대수와 고 분류 이론 / 동 모피 이론을 배웠다.
하지만 두 과목 사이의 연관성을 이해하려고 할 때 다소 혼란 스럽습니다. (이것은 내 편의 영역이 아닙니다 ...)
그러므로 나는 상동 대수와 동형 이론에 관한 글을 쓰려고 (일종의 자기 연습) 노력하지만 $0$ 두 과목.
나는 상동 대수에서 다음과 같은 개념을 소개하고 싶습니다.
- 체인 콤플렉스
1$\frac{1}{2}$. Grothendieck 그룹
복합체의 동형
파생 카테고리
t- 구조
또한 동형 이론에서 다음과 같은 개념을 소개하고 싶습니다.
모델 카테고리
모델 카테고리의 Homotopy 카테고리
모델 범주 설정에서 파생
유사 카테고리
4.5. 범주의 단순 대상 및이 맥락에서 동형
- Dold-Kan 동등성
이제 "어려운"부분이 시작됩니다.
이러한 개념을 좋은 방식으로 구성하는 방법은 무엇입니까? 1-3의 경우 (상 동성 / 호모 토피에서) 나는 그것을하는 방법을 알고 있다고 생각하지만, 특히 동성애에서 3-5의 경우 나는 전혀 모른다 ...
이것은 내 질문을 제기합니다.
- 무한대 범주 또는보다 일반적으로 동질성 이론 / 상위 범주 이론에 동기를 부여하는 방법은 상동 적 관점에서 볼 수 있습니다. 나는 어딘가에서 아마도 좋은 아이디어를 읽었습니다.
아벨 카테고리의 경우 $\mathcal{A}$, 파생 카테고리 $\mathcal{D(A)}$ 범용 속성으로 정의되지 않습니다.
나는 어딘가에서 더 높은 범주의 이론이 문제를 해결한다는 것을 읽었습니다. 좋아 근데 왜? 그리고 준 범주가 필요합니까, 아니면 모델 범주가이를 수행하기에 충분할까요?
- 누군가이 텍스트를 구성 할 아이디어가 있다면 어떤 제안이든 열어줍니다.
누군가가이 자기 운동을하는 것에 대한 단서를 줄 수 있다면 감사 할 것입니다.
답변
나는 OP가 처음부터 무언가를 쓰기 전에이 주제에 대한 다른 사람들의 글을 읽도록 권장합니다. Aaron Mazel-Gee가 동기를 부여한 OSU 강의에 참석했습니다.$\infty$OP가 질문 1에서 제안한 것처럼 매우 많이 해당 강의에서 나온 아이디어 중 일부가 여기에 등장한 것 같습니다 .
질문 2에 관해서는 Weibel의 저서 Introduction to Homological Algebra 가 첫 번째 주제 모음에서 훌륭한 작업을 수행하고 Hovey의 책 (또는 Dwyer-Spalinski )은 두 번째 모음의 처음 세 항목을 제공하고 Lurie의 책은 원하는 모든 것을 제공합니다. 준 범주와 모델 범주 및 상동 적 대수와의 연관성에 대해 설명합니다 (진지하게 그가 각 장에 대해 쓴 소개는 경이적입니다). Dold-Kan 서신에 관해서는 Lurie의 저술 어딘가에 나타날 것이라고 확신하지만, 내가 읽은 가장 명확한 설명 은 Akhil Mathew입니다.
나는 당신이 좀 더 분명하게 생각한다면 순서를 바꿀 수 있다는 것에 동의한다 (예를 들어, 당신이 이미 단순한 세트에 대해 알고 있다면 Lurie로 시작). 나 자신을 위해 나는 구체적인 무언가로 시작하여이 순서가 암시하는 것처럼 조금씩 그 위에 추상화를 구축하고 싶습니다. Weibel의 책은 실제로 거기에서 삼각 분할 범주, 모델 범주 및 준 범주로 쉽게 이동할 수 있도록 작성되었습니다. 그러나 그것은 대 수학자들이 매우 쉽게 접근 할 수있는 곳에서 시작됩니다.
두 번째 질문에 먼저 대답하겠습니다. 어느 정도 선택하는 순서는 예제로 진행할지 아니면 전체 추상화로 진행할지에 따라 크게 달라집니다. 예를 들어, 다음 사항에 대한 사실 만 사용하여 투영 해상도와 파생 범주를 도입 할 수 있습니다.$\text{Ch}(\mathcal{A})$ 및 Ore의 분수 미적분 (이와 같은 치료는 Weibel의 책 참조) 또는 모델 범주를 소개하고 그 속성을 증명하고 $\text{Ch}(\mathcal{A})$작은 객체 인수를 사용하는 투영 모델 구조를 인정하고 (인수 개요는 이 nLab 페이지 참조 ) 동형 범주로서 파생 된 범주에 대한 설명에 도달합니다.
개인적으로 저는 두 번째 설명이 불필요하게 복잡 할 것이라고 생각하며, 먼저 상동 적 대수를 도입하는 것이 더 합리적이라고 생각합니다. 그 방법은 모델 구조의 예로서 투영 모델 구조를 도입 할 수 있기 때문입니다. cofibrant resolution, homotopy 카테고리 등의 예로서 파생 된 카테고리; 이러한 개념은 몇 가지 예 없이는 직관을 얻기가 어려울 수 있습니다! 그러나 두 가지 주문 모두 가능합니다.
모델 카테고리와 준 카테고리에 대한 질문 : 모델 카테고리는 준 카테고리에 대한 "프레젠테이션"으로 볼 수 있습니다 ( 이 관점에 대해서는 이 nLab 페이지 를 참조 하고, 이론의 발전에 대해서는 Lurie의 Higher Topos 이론의 부록 A.2 및 A.3 참조). 이 명시적인 목표를 가진 모델 카테고리). 유사 카테고리는 모델 카테고리에 비해 몇 가지 장점이 있습니다. 예를 들어, 유사 카테고리에서 다른 카테고리로의 펑터의 유사 카테고리가있는 반면 유사한 문은 모델 카테고리에 적용되지 않습니다. 모델 구조는 준 범주에 관한 많은 기본 증명에 많이 관여하므로 이러한 주제를 정렬하는 두 가지 방법은 없습니다.
첫 번째 질문에 대해 : 개인적으로 저는 상동 적 대수가 모델 범주 또는 무한 범주를 도입하는 데 충분한 동기가된다고 생각하지 않습니다. 의견에서 제기 된대로 삼각 분할 범주는$\mathcal{D}(\mathcal{A})$기능적 원뿔을 허용하지 않으며 이것은 일부 응용 프로그램에서 성가신 일이지만 사람들은 사람들이 dg- 및 준 범주에 대해 이야기하기 전에 수십 년 동안 상동 대수를 적용하는 데 대부분 잘 지 냈습니다. 제 생각에 당신의 텍스트에 대한 더 강력한 순서는 상동 대수에서 기본 개념을 소개 한 다음 모델 범주와 마지막으로 준 범주에 대해 이야기 할 때 예제로 사용하는 것입니다.
보편적 재산에 대한 질문에 $\mathcal{D}(\mathcal{A})$무한대 카테고리를 사용하면 Lurie의 고등 대수 섹션 1.3.3이 도움이 될 수 있습니다. 그러나$\mathcal{D}(\mathcal{A})$ 확실히 일반적인 1- 카테고리 언어에서 보편적 인 속성을 가지고 있습니다. $\text{Ch}(\mathcal{A})$ 준 동형에서.