선형 ODE의 결합 시스템 풀기 (1 차 1 차, 다른 1 차)

Question

두 개의 결합 된 ODE가 있습니다. $T(x)$ 과 $t(x)$:

$$\frac{d^2 T(x)}{d x^2}-\beta (T(x)-t(x))+K=0 \tag 1$$

$$\frac{d t(x)}{dx}-\alpha(T(x)-t(x))=0 \tag 2$$

$\alpha, \beta$ 과 $K$ 상수입니다 $>0$. 또한$t(x=0)=t_i$. 또한$(1)$ 우린 알아:

$$\frac{d T(x=0)}{d x}=\frac{d T(x=L)}{d x} = 0$$

결정해야합니다 $T(x)$ 과 $t(x)$. 누구든지이 문제를 해결하기위한 방법을 제안 할 수 있습니까?

아마도이 결합 방정식 시스템은 행렬 방법을 사용하여 풀 수 있지만 나는 그것을 알지 못합니다. 나는 일반적으로 요인을 적분하거나 특성 방정식을 사용하고 근을 찾는 방법을 사용하여 단일 방정식을 풉니 다.

Answer 1

$$\frac{d^2 T(x)}{d x^2}-\beta (T(x)-t(x))+K=0 \tag 1$$

$$\frac{d t(x)}{dx}-\alpha(T(x)-t(x))=0 \tag 2$$

힌트 :

에서 $(2) \qquad T=\frac{1}{\alpha}\frac{d t}{dx}+t$

$\frac{d^2T}{dx^2}=\frac{1}{\alpha}\frac{d^3t}{dx^3}+\frac{d^2t}{dx^2}$

그들을 넣어 $(1)$ :

$\frac{1}{\alpha}\frac{d^3t}{dx^3}+\frac{d^2t}{dx^2}-\frac{\beta}{\alpha}\frac{d t}{dx} +K=0$

$$\frac{d^3t}{dx^3}+\alpha\frac{d^2t}{dx^2}-\beta\frac{d t}{dx} +\alpha K=0$$상수 계수를 갖는 선형 ODE입니다. 여기에서 가져갈 수 있다고 생각합니다.

Answer 2

힌트 :

대용품 $T(x)=\frac{1}{\alpha}\frac{d t(x)}{dx}+t(x)$ 에 $(1)$ :

$$ \frac{1}{\alpha}\frac{d^3t(x)}{dx^3}+\frac{d^2t(x)}{dx^2}-\frac{\beta}{\alpha}\frac{d t(x)}{dx} +K = 0$$

그런 다음 $\frac{dt(x)}{dx}$.