Serge Lang의 투영
이 질문은 증명에서 정체성으로 취급되는 동형에 대한 정체성에 대한 후속 조치 입니다. 지금 나는 위의 스레드에서 하나에 추론 듀얼에 대한 랭에 의해 주어진 증거의 스케치를 해결할 수있을 것입니다, 그리고 기반으로 정체성의 자신의 가정을 제거하기 위해, 거기에 주어진 모든 종류의 도움으로 그 생각 의 정체성을 거기에서 동형까지도 . 하지만 할 수 없습니다. 문제는 다음과 같습니다.
"Fundamentals of Differential Geometry", 1999, pp.18-19에서 Serge Lang은 다음 정의를 제공합니다.
그리고이 역 매핑 정리에 대한 추론 :
우선, 몇 가지 설명 : 형태주의는 $ C^p$ map, local isomorphism은 지역을 의미합니다. $ C^p$diffeomorphism, toplinear isomorphism은 여기서 linear isomorphism으로 간주 될 수 있습니다. 또한 나는$ V_1 \subseteq E_1 $ 과 $ V_2 \subseteq E_2 $이고 Lang이 참조하는 지역 역 h는 $ \varphi^{-1} $, 랭의 표현에서 알 수 있듯이 미분의 역이 아닙니다.
다시, 내가 보지 못하는 것은 $ \varphi^{-1} $ 추론의 요구 사항을 충족합니다.
신분증을 제거하기 위해 $ E_2=F $ 증거로 대신하자
$ \varphi: E_1 \times E_2 \rightarrow E_1 \times F $.
그런 다음 $ C^p $ 이형성
$ g: E_1 \times E_2 \rightarrow E_1 \times F: \quad (x_1,x_2) \mapsto (id_1, D_2f(a_1,a_2))[x_1,x_2] $
교체 $ h:=\varphi^{-1} $ 에 의해 $ C^p $ 이형성 $ h \circ g: E_1 \times E_2 \rightarrow E_1 \times E_2 $. 그러나 이것으로 결과 맵은 어떻게$ f \circ h \circ g: E_1 \times E_2 \rightarrow F $ 평범한 투영을 고려하다 $ V_1 \times V_2 \rightarrow V_2 $ 및 선형 동형 $ V_2 \rightarrow W(0) \subseteq F $ 열린 이웃과 W?
지역지도를 말할 수 있을까요 $ \varphi^{-1} $명시 적으로? 그것은$ \varphi^{-1}(x_1,y) = (x_1, pr_2 \circ f^{-1}(y)) $ ...에 대한 $ y \in F $?
분명히 $ \varphi^{-1}(\varphi(x_1,x_2))= \varphi^{-1}(x_1,f(x_1,x_2)) = (x_1,x_2) $. 그러나 다른 방법은 제대로 해결되지 않습니다.
$ \varphi(\varphi^{-1}(x_1,y))= \varphi(x_1, pr_2 \circ f^{-1}(y)) =(x_1,f(x_1,pr_2 \circ f^{-1}(y)) $.
그건 그렇고, f도 국부적으로 뒤집을 수 있도록 할 수 있습니까? 구성 평가$ f \circ h \circ g $ 아무데도 이끌지 않는 것 같다
$ f(h(g(x_1,x_2))) = f(h(x_1,D_2f(a_1,a_2)[x_2])) = f(x_1,pr_2 \circ f^{-1}(D_2f(a_1,a_2)[x_2])) $.
그래서 어떻게 진행할까요? 오류는 어디에 있거나 필요한 아이디어는 무엇입니까? 프로젝션을 명시 적으로 소개하려고 생각했습니다$ pr_2: E_1 \times E_2 \rightarrow E_2 \equiv (\{0\} \times E_2) \subseteq (E_1 \times E_2) $ 작곡 시작 부분 : $ f \circ h \circ g \circ pr_2 $, 그러나 불행히도 예상은 $ C^p $-이형.
답변
이 경우 길을 잃는 것이 훨씬 쉽습니다.
증거를 살펴보면 재정의 할 수 있습니다 $$\varphi:U\to E_1\times F, \quad (x,y)\mapsto (x,f(x,y))$$ 이것은 또한 Lang이하는 것과 약간 다릅니다. $\varphi$ 전체 공간에 정의되어 있지 않습니다. $E_1\times E_2$, 이후 $f$ 그 자체는 이웃에서만 정의됩니다. $U$. 그러나이 발언은 심각하지 않습니다.
이것의 파생물은 다음과 같습니다. $$D\varphi(x,y)\ [w_1,w_2]= \bigg[w_1, D_1f(x,y)\ [w_1] + D_2f(x,y)\ [w_2]\bigg]$$
이것은 $(a_1,a_2)$. 이를 단순화하기 위해 Lang처럼 행렬 표기법을 사용할 수 있습니다.$A, C$ 뒤집을 수 있습니다. $$\begin{pmatrix}A&0\\ B& C\end{pmatrix}^{-1}= \begin{pmatrix}A^{-1}&0\\ -C^{-1}BA^{-1}& C^{-1}\end{pmatrix}$$
역함수 정리에서 다음과 같습니다. $$h: V_1\times V_2\to E_1\times E_2$$ 와 $V_1\subseteq E_1, V_2\subseteq F$ 그렇게 열어 $\varphi(a_1,a_2)\in V_1\times V_2$ (과 $h(V_1\times V_2)\subseteq U$).
그것의 로컬 역전 이후로 $\varphi \circ h=\mathrm{id}_{V_1\times V_2}$. 이 구성을 작성하십시오.$$(\varphi\circ h)(x,y)=(h_1(x,y), f(h(x,y)) ) \overset!= (x,y)$$ 그 후 $f(h(x,y)) = y$, 원하는 결과였습니다.
내가 여기서 한 것은 증거를 살펴보고 그것을 가정하지 않고 진술의 증거로 수정하는 것입니다. $E_2=F$. 당신의 생각을 읽고 나는 당신이 똑같은 일을하고 싶었다고 생각하지만 적응으로 동형을 연결하고 싶습니다.$D_2f(a_1,a_2)$식별이 이루어지는 모든 단계에서. 이것은 또한 가능하고 더 체계적 일 수 있지만 길을 잃기 쉽습니다.
세 번째 방법은 Lang에서 파생 된 실제 진술을 사용하는 것입니다. $E_2=F$,이 문장만으로 작업하여 사건을 도출하십시오. $E_2\neq F$. 여기서 우리는 상황을 파악하기 위해 먼저 신분증을 사용해야합니다.$E_2=F$그런 다음 정리를 적용하고 그 후에 식별을 사용하여 상황으로 돌아갑니다. $E_2\neq F$.
이 헛된하자 $T:F\to E_2$수 있는 예를 들어, 동형을$T=D_2f(a_1,a_2)^{-1}$. 그렇다면$$f:U\to E_1\times F$$ 지도입니다 $D_2f(a_1,a_2)$ 뒤집을 수있는 고려 $\tilde f:=f\circ (\mathrm{id}_{E_1}, T): E_1\times F\to E_1\times F$. 여기서 우리는 수정했습니다$f$ 필수 양식의지도가 되려면 $$D_2\tilde f = D_2f(a_1,a_2)\circ T$$ 그것은 뒤집을 수 있습니다-따라서 당신은 기본형의 상황에 있습니다. $E_2=F$.
정리 적용 : $\tilde h:V_1\times V_2\to E_1\times F$ 그래서 $\tilde f \circ \tilde h$두 번째 구성 요소에 대한 투영입니다. 그러나:$$\tilde f\circ \tilde h = f\circ ( (\mathrm{id}_{E_1},T)\circ \tilde h)$$ 정의 $h:= (\mathrm{id}_{E_1},T)\circ \tilde h$ 그런 다음 방금 가지고있는 기본형을 복구 할 수 있습니다. $E_2\cong F$, 전체보다는 $E_2=F$.