스피박의 미적분 : 3 장 문제 24b
24b) 다음과 같이 가정하십시오. $f$ 모든 숫자가 $b$ 쓸 수있다 $b = f(a)$ 실수로 $a$. 기능이 있음을 증명$g$ 그런 $f \circ g = I$
이 질문과 해결 방법을 이해하고 있다고 생각하지만 수학적으로 엄격한 방법으로 내 솔루션을 표현하는 방법을 찾기 위해 고군분투하고 있습니다. $f$주사제가 아닙니다. 내 아이디어는 다음과 같습니다.
우선, 만약 $f$ 주입식이면 사소합니다.
허락하다 $g(x) = a$, 어디 $x = f(a)$ 어떠한 것도 $a \in \text{domain}(f)$
이후 $f$ 정의에 따라 단 하나의 값만 있습니다. $a$ 만족하는 $x = f(a)$ 각각 $x$, 즉 $g$잘 정의되어 있습니다. 과$\text{domain}(g) = \text{image}(f)$ (의 정의에 따라 $g$), 질문의 가정에서 $\mathbb{R}$. 또한,$\text{domain}(f) = \text{image}(g)$, 이후 $f$ 과 $g$(그러나 그 사실은 중요하지 않습니다). 그래서$f(g(x))$ 모두를 위해 정의됩니다 $x ∈ \mathbb{R}$. 드디어,$f(g(x))$ = $f(a)$, 어디 $x = f(a)$ ...에 대한 $x ∈ \mathbb{R} \to f(g(x)) = I(x)$.
하지만 지금 $f$주입식이 아니라 더 복잡해집니다. 원래 정의를 유지하면$g$,되는 "$g(x) = a$, 어디 $x = f(a)$ 어떠한 것도 $a \in \text{domain}(f)$", 그러면 작동하지 않습니다. $g$더 이상 함수가 아닙니다. 이후$f$ 주입식이 아닙니다. 최소 2 개의 숫자가 있습니다. $z$ 과 $w$ 그런 $z \neq w$ 그러나 $f(z) = f(w)$, 즉 $x$ 다음과 같이 : $g(x) = z = w$.
아이디어는 단순히 재정의하는 것이라고 생각합니다. $g$ 단순히 "선택"하기 위해 $z$ 또는 $w$, 할당 $x$. 예를 들어 둘 중 더 작은 것을 선택할 수 있습니다. 이것이 만드는 유일한 차이점은 지금$\text{domain}(f) \subset \text{image}(g)$, 대신에 $\text{domain}(f) = \text{image}(g)$. 그러나 그 사실이 이전에는 중요하지 않았기 때문에 질문의 결론은 여전히 유효합니다.
제 질문입니다. 정의를 명시 적으로 작성하려면 어떻게해야합니까?$g$ 작은 것을 "선택"하는 $z$ 또는 $w$? 또한 z와 w가 2 개 이상 존재한다는 것을 상기하십시오 . 임의로 더 많은 숫자가있을 수 있습니다.$f(z) = f(w) = f(m) = f(n)$등등. 그리고 그것은 단지 임의의 분기 중 하나에 불과합니다.$f$걸릴 수 있습니다. 다른 숫자 세트가있을 수 있습니다.$f(z_2) = f(w_2) = f(m_2)$ 등등, 그것은 같지 않습니다 $f(z)$등
이것은 매우 지저분 해지고 있습니다. 어떻게 표현할 수 있습니까$g$ 수학적으로?
답변
당신이 알아 차린 오류는 진짜입니다. 당신이 보여 주도록 요청받은 것은 기본적으로 실수에 대한 선택 의 공리입니다 . 집합 이론의 다른 공리로부터 증명할 수 없기 때문에 (일반 버전) 공리입니다.
따라서 두 가지 옵션이 있습니다.
- 당신의 정의에이 문제가 있다는 사실을 훑어 보면서 기본적으로 이렇게 말할 수 있습니다. "글쎄, 옵션 중 하나를 선택하세요. 여기서 이상하게 볼 수는 없습니다."
- 선택한 공리를 호출 할 수 있습니다. (Wikipedia 기사에서 바로) : 색인 된 모든 제품군$(S_i)_{i\in I}$ 비어 있지 않은 세트 (여기서 $I$ 인덱싱 세트) 가족이 있습니다 $(x_i)_{i\in I}$ 그런 $x_i \in S_i$ 모든 $i\in I$. 나는 Spivak의 주장에 도달하는 방법을 알아 내기 위해 당신에게 맡깁니다. (사실, 제가 가장 좋아하는 선택 공리의 공식화는 기본적으로 증명해야하지만 숫자에 국한되지 않습니다.)
명시 적 선택 기능이 있다고 가정합니다. $C :\mathcal P(\mathbb R) \rightarrow \mathbb{R}$.
허락하다 $A \subset \mathbb{R}$. 정의에 따르면$C(A) = r$ 일부 $r \in \mathbb{R}$.
참고 $A \subset \mathbb{R}$, 명확하게 : $\{~~A \setminus C(A)~~\}$ $\subset \mathbb{R}$.
이제 함수 정의 $A_n : \mathcal P(\mathbb R) \to \mathcal P(\mathbb R)$ 다음과 같이 재귀 적으로 :
$A_1(A)$ = $A$
$A_2(A)$ = $A_1(~~A_1 \setminus \{C(A_1)\}~~)$
$A_3(A)$ = $A_2(~~A_2 \setminus \{C(A_2)\}~~)$
기타 등등.
공식적으로 :
$A_1(A)$ = $A$
만약 $A = \emptyset$, 그런 다음 : $A_n(\emptyset) = \emptyset$
만약 $A \neq \emptyset$, 그런 다음 : $A_n(A)$ = $A_{n-1}(~~A_{n-1} \setminus C(A_{n-1}~~)$ $~~~~\forall n \in \mathbb{N}, n > 1$
기본적으로 제가하고있는 것은 선택 기능을 적용하는 것입니다. $C$ ...에 $A$ 특정 실수를 선택하려면 $r_1$ 에 $A$, 정의 $A_2$ to be the set {$A$ 잃어버린 $r_1$}, 다음 적용 $C$ ...에 $A_2$ 다른 실수를 선택하려면 $r_2$ 에 $A$, 정의 $A_3$ to be the set {$A$ 잃어버린 ($r_1$ 과 $r_2$)} 등
이제 다른 기능을 정의하십시오. $Z:A \rightarrow \mathbb{N}$ 원래 선택 기능 사용 $C$ 그리고 새로운 $A_n$ 다음과 같이 기능합니다.
$Z(r)= \{n, ~where ~r=C(A_n)$
이 기능 $Z$매우 특별합니다. 모든 요소$r \in A$ 고유 한 값에 해당 $Z(r)$. 다시 말해,$Z$ 실수 하위 집합의 모든 요소를 고유 한 자연수로 매핑 할 수 있습니다. $n$.
Cantor가 이것에 대해 할 말이있을 것 같은데요 ...
만약 $f$ 비 주사 함수입니다. $f$ 다음과 같이 쓸 수 있습니다. $f = \{(x_1,f_1), (x_2,f_2)\cdots \} + \{(x_{1+i},f_i),(x_{2+i},f_i)\cdots \} + \{((x_{1+2i},f_{2i}),(x_{2+2i},f_{2i})\cdots \} + \cdots$ 어디 $(x_{a+bi} = x_{c+di}) \implies (a+bi = c+di)$ 과 $(f_{a+bi} = f_{c+di}) \implies (a+bi = c+di)$.
밝히다 $\hat f = \{(x_1,f_1), (x_2,f_2)\cdots \}$
밝히다 $A_n = \{(x_{1+ni},f_{ni}),(x_{2+ni},f_{ni}) \cdots \}$
$\therefore f= \hat f + \sum_{p=1}^Z A_p$, 어디 $Z \in \mathbb{N}$ 또는 $Z = \infty$
이제 AoC 사용 : 새 세트 구성 $\hat A$ 정확히 하나의 주문 된 쌍을 포함 $(x_{a+ni},f_{ni})$ 각각에서 $A_n$.
밝히다 $f_{\text{injective}} = \hat f + \hat A$
마지막으로 정의 $g(x) = a$, 어디 $(a,x) \in f_{\text{injective}}$