시간 독립 섭동 이론은 어떻게 작동합니까? [복제]
시간 독립적 섭동 이론에 대한 일반적인 설정을 고려해 봅시다.
$$H=H_0+\varepsilon H'$$
그런 다음 일반적인 확장을 설정할 수 있습니다.
$$(H_0+\varepsilon H')[|n_0\rangle+\varepsilon |n_1\rangle+\varepsilon ^2 |n_2\rangle+...]=(E_n^{(0)}+\varepsilon E_n^{(1)}+\varepsilon ^2 E_n^{(2)}+...)[n_0\rangle+\varepsilon |n_1\rangle+\varepsilon ^2 |n_2\rangle+...]$$
간단히 말해서, 섭동 이론을 사용하여 문제를 풀어야 할 때 우리가 관심을 갖는 유일한 것은 고유 상태와 고유 값에 대한 수정을 계산하는 방법입니다.
시간 독립적 인 비 퇴화 섭동 이론의 경우 수정 공식을 알고 나면이 작업은 매우 간단합니다.
$$E^{(k)}_n=\langle n_0|H'|n_{k-1}\rangle$$ $$|n_k\rangle=\frac{1}{H_0+E^{(0)}_n}|_{|n_0\rangle}[(E_n^{(1)}-H')|n_{k-1}\rangle+E_n^{(2)}|n_{k-2}\rangle+.....+E_n^{(k)}|n_0\rangle]$$
끝난! 훌륭한! 하지만 물론 우리의 해밀턴이 퇴화된다면 어떨까요? 교과서에서 이전 공식이 작동하지 않는 이유를 찾았습니다. 나는 또한 어떤 경우에는 섭동이 퇴화를 취소하고 어떤 경우에는 그렇지 않다는 것을 이해했습니다. 그리고 퇴화 된 공간에서 행렬을 대각선 화해야 할 필요성에 대한 이야기도 있습니다 (이 마지막 요점은 현재로서는 명확하지 않습니다). 확인. 그러나 실제로 : 퇴화 사례에서 섭동 팽창을 어떻게 설정하고 해결할 수 있습니까? 수정 공식은 무엇입니까? (수식이 작동하는 이유를 아는 것도 좋지만이 질문의 요점은 아닙니다)
간단한 질문이지만 책이나 강의 노트에서 직접적인 답을 찾을 수없는 것 같습니다. 멋지고 간결한 답변을 원합니다. 이 주제는 초보자로서 저에게 정말 복잡해 보이며 여기서 무슨 일이 일어나고 있는지 요약하고 싶습니다. 특히 실제적인 관점에서 볼 때 퇴행성 사건에서 운동과 확장을 어떻게 해결할 수 있는지에 대해.
답변
퇴화 상태에 대한 섭동 이론의 기본 아이디어는 보정뿐만 아니라 보정중인 상태도 찾는 것입니다. 특정 상태 만 작은 수정을 얻고 다른 상태는$O(1)$자귀. 간단한 예를 들어 보겠습니다. 다음 Hamiltonian \ begin {equation} H = \ left (\ begin {array} {ccc} m & \ varepsilon \\ \ varepsilon & m \ end {array} \ right), \ end { } 식 으로$\varepsilon \ll m$. 시스템은 \ begin {equation} E_ \ pm = m \ pm \ varepsilon ~~ \ text {and} ~~ | \ psi_ \ pm \ rangle = \ left (\ begin {array} {ccc} 1 \\ \ pm 1 \ end {array} \ right). \ end {equation} 이제 섭동 이론을 사용하여이 결과를 얻으려고 시도했다고 상상해보십시오. 섭동되지 않은 Hamiltonian은 \ begin {equation} H = \ left (\ begin {array} {ccc} m & 0 \\ 0 & m \ end {array} \ right), \ end {equation} 은 퇴화 된 고유 상태 \ begin { 방정식} | \ psi ^ {(0)} \ rangle = c_1 \ left (\ begin {array} {c} 1 \\ 0 \ end {array} \ right) + c_2 \ left (\ begin {array} {c} 0 \ \ 1 \ end {array} \ right), \ end {equation} 모두 에너지 포함$E^{(0)}=m$. 섭동되지 않은 상태를 \ begin {equation} |으로 선택하는 경우에만 분명합니다. \ PSI ^ {(0)} _ {1,2} \ rangle = \ 좌회전 (시작 \ {어레이} {1} CCC \\ \ 오후 1 \ {말단 배열} \ 오른쪽) \ {식 단부} 의한 정정 섭동이 작습니다 (이 경우에는 사라집니다). 시스템을 정확히 해결하지 않고 어떻게 그 결과를 얻을 수 있습니까? 이를 위해 당신은 방해받지 않는 시스템에 대한 임의의 기반을 선택하고 있습니다.$| \varphi_i \rangle$"진정한"교란되지 않은 (및 교란 된) 고유 상태를 선형 조합으로 표현합니다. \ begin {equation} | \ psi ^ {(0)} _ i \ rangle = c ^ {(0)} _ {ij} | \ varphi_j \ rangle, ~~ \ text {and} ~~ | \ psi ^ {(1)} _ i \ rangle = c ^ {(1)} _ {ij} | \ varphi_j \ rangle. \ end {equation} 그런 다음 Schrödinger 방정식 \ begin {equation} (H_0 + \ varepsilon V) \ left (| \ psi ^ {(0)} _ i \ rangle + \ varepsilon | \ psi ^ {(1)} _ i \ rangle \ right) = (E ^ {(0)} + \ varepsilon E ^ {(1)} _ i) \ left (| \ psi ^ {(0)} _ i \ rangle + \ varepsilon | \ psi ^ {(1 )} _ i \ rangle \ right) \ end {equation} by$\langle \phi_k |$하나는 \ begin {equation} \ sum_ {j} \ langle \ varphi_k | V | \ varphi_j \ rangle c_ {ij} ^ {(0)} = E_i ^ {(1)} c_ {ik} ^ {(0)}. \ end {equation} 인덱스 생략$i$우리는 이러한 방정식 아무것도는 없지만 고유 상태에 대한 방정식 볼 \ sum_j V_ {KJ} C_J =는 E가 ^ {(1)} C_K는 \ 단부 {식} {식} 시작 \ 것을 의미하는$\det (V-E^{(1)})=0$. 이 방정식에서$E_i^{(1)}$ 과 $c_{ij}^{(0)}$ 동시에 파생됩니다.
예제로 돌아가서 \ begin {equation} | \ varphi_1 \ rangle = \ left (\ begin {array} {ccc} 1 \\ 0 \ end {array} \ right), ~~ \ text {and} ~~ | \ varphi_2 \ rangle = \ left (\ begin {array} {ccc} 0 \\ 1 \ end {array} \ right). \ end {equation} 슈뢰딩거 방정식은 \ begin {equation} \ left (\ begin {array} {cc} m & \ varepsilon \\ \ varepsilon & m \ end {array} \ right) \ left (\ begin {array } {ccc} c_ {i1} ^ {(0)} + \ varepsilon c_ {i1} ^ {(1)} \\ c_ {i2} ^ {(0)} + \ varepsilon c_ {i2} ^ {(1 )} \ end {array} \ right) = \ left (m + \ varepsilon E_i ^ {(1)} \ right) \ left (\ begin {array} {ccc} c_ {i1} ^ {(0)} + \ 바렙 실론 c_ {i1} ^ {(1)} \\ c_ {i2} ^ {(0)} + \ varepsilon c_ {i2} ^ {(1)} \ end {array} \ right), \ end {equation} 또는 단순화 후 \ begin {equation} \ varepsilon \ left (\ begin {array} {ccc} c_ {i2} ^ {(0)} \\ c_ {i1} ^ {(0)} \ end {array} \ right ) = \ varepsilon E_i ^ {(1)} \ left (\ begin {array} {ccc} c_ {i1} ^ {(0)} \\ c_ {i2} ^ {(0)} \ end {array} \ right), \ end {equation} 해는 \ begin {equation} E ^ {(1)} = \ pm 1, ~~ \ text {for} ~~ \ left (\ begin {array} {ccc} 1 \ \ \ pm 1 \ end {array} \ right), \ end {equation} 은 우리가 이전에했던 것과 정확히 같습니다.
관심있는 것은 세속 방정식 입니다.
클래식 소스는 Landau & Lifshitz의 두 번째 볼륨입니다. https://books.google.ru/books?id=neBbAwAAQBAJ&pg=PA110&hl=ru&source=gbs_selected_pages&cad=2#v=onepage&q&f=false
허락하다 $\psi_{n}^{(0)}, \psi_{n^{'}}^{(0)}$ 동일한 고유 값에 속하는 고유 함수 $E_n^{(0)}$. 으로$\psi_{n}^{(0)}, \psi_{n^{'}}^{(0)}$임의의 방식으로 선택된 교란되지 않은 함수를 가정합니다. 0 차의 올바른 고유 함수는 다음 형식의 선형 조합입니다.$$ c_{n}^{(0)} \psi_{n}^{(0)} + c_{n^{'}}^{(0)} \psi_{n^{'}}^{(0)} + \ldots $$
에너지에 대한 1 차 섭동의 대체 $E_n^{(0)} + E^{(1)}$ 게시물의 두 번째 방정식에 다음을 제공합니다. $$ E^{(1)} c_{n}^{(0)} = \sum_{n^{'}} H_{n n^{'}} c_{n^{'}}^{(0)} $$ 또는 다음과 같은 방식으로 다시 작성하십시오. $$ \sum_{n^{'}} (H_{n n^{'}} - E^{(1)} \delta_{n n^{'}})c_{n^{'}}^{(0)} = 0 $$이 방정식은 시스템을 정의하는 행렬이 퇴화되는 경우에만 우변이 0 인 시스템으로서 해를 갖습니다. 정사각형 행렬의 경우 행렬식 소멸과 동일합니다.$$ \boxed{\det(H_{n n^{'}} - E^{(1)} \delta_{n n^{'}}) = 0} $$
이 방정식은 앞서 언급 한 세속 방정식입니다. 그리고 고유 값$E^{(1)}$ 섭동의 영향은 에너지 보정을 결정하고 방정식의 해는 계수 $c_{n^{'}}^{(0)}$.
퇴화 사례에 대한 확장을 설정할 수 있지만 "올바른"기준을 사용하는 경우에만 가능합니다. "오른쪽"기저는 관심있는 축퇴 된 부분 공간에서 섭동을 대각선으로 만드는이 기저입니다. 그러면 구성에 의해이 부분 공간, 즉 기저 벡터가있는이 새로운 기저에는 비 대각선 항이 없습니다.$\vert\alpha_i\rangle$ 그래서 $\hat V\vert\alpha_i\rangle=\lambda_i\vert\alpha_i\rangle$, 당신은 $\langle \alpha _k\vert \hat V\vert \alpha_j\rangle=\delta_{kj}$ 그래서 당신은 결코 나누지 않습니다 $0$ 확장에는 용어가 포함되지 않기 때문에 $k=j$.
이 새로운 기준을 사용하면 문제가 악화되지 않은 것처럼 진행할 수 있습니다. 섭동이 발생하면 절차가 여전히 실패 할 수 있습니다.$\hat V$관심있는 축퇴 된 부분 공간에서 반복 된 고유 값이 있습니다. 이 경우 수행 할 작업이 없습니다. 즉, 남아있는 퇴화 상태에 대해 명백한 섭동 확장이 존재하지 않습니다.