“ $\Sigma_1^1$-Peano arithmetic”-핀 다운 $\mathbb{N}$?

Question

허락하다 $\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$임의의 것을 포함하도록 일반적인 1 차 Peano 공리를 확장하여 얻은 2 차 논리 이론$\Sigma^1_1$유도 방식의 공식. 내 질문은 :

않습니다 $\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$ 비표준 모델이 있습니까?

모델은 $\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$ 정확히의 모델입니다 $\mathsf{PA}$ (사소하지 않은 적절한) $\Sigma^1_1$-정의 가능한 컷.

우리가 교체하면 $\Sigma^1_1$ 와 $\Pi^1_1$ 모델의 표준 요소 세트가 있기 때문에 대답은 즉시 부정적입니다. $\mathsf{PA}$ 이다 $\Pi^1_1$. 그러나 유사한 것은 작동하지 않는 것 같습니다.$\Sigma^1_1$ (분명한 것을 쉽게 놓칠 수는 있지만).

한 가지 빠른 관찰은 $\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$진정한 1 차 산술을 수반합니다 . 1 차 공식이 주어지면$\varphi(x)$, 허락하다 $\hat{\varphi}(x)$ 될 $\Sigma^1_1$ 공식 "이 포함 된 컷이 있습니다 $x$ 컷의 모든 요소가 $\varphi$." 만약 $M\models\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$ 우리는 사소하게 가지고 $\hat{\varphi}^M\in\{\emptyset,M\}$; 복잡성에 대한 유도로$\varphi$ 우리는 모든 표준 자연수가 만족한다면 $\varphi$ 그때 $0\in\hat{\varphi}^M$ 결과적으로 $M\models\forall x\varphi(x)$ (그러면 $M\equiv\mathbb{N}$). 그러나 나는 이것을 사용하여 범주 성을 얻는 방법을 알지 못합니다. 사실, 내가 아는 한 예를 들어 모든 사소하지 않은 초능력은$\mathbb{N}$ 만족하다 $\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$. (참고$\Sigma^1_1$문장은 초능력을 사용하여 보존됩니다. 그러나,$\Sigma^1_1$ 공식은 $\Sigma^1_1\vee\Pi^1_1$ 과 $\Pi^1_1$ 초능력을 사용하는 경우 문장이 보존되지 않으므로 도움이되지 않는 것 같습니다.)

Answer 1

당신이 당신의 $\Sigma^1_1$ 매개 변수가있는 공식, PA$_{\Sigma^1_1}$표준 모델 만 있습니다. 그것을 증명하려면$\Pi^1_1$ 생산 표준의 정의 $\Sigma^1_1$ 공식 $\sigma(x,y)$ ~에 대해 말하는 것 $x<y$ 과 $y-x$ 표준이 아닙니다. 즉, $x$ 무한히 아래에있다 $y$. 그것을 보여주는 것은 쉽습니다.$\sigma(x,y)$ 암시 $\sigma(x+1,y)$. 그래서$\Sigma^1_1$ 유도, 경우 $\sigma(0,y)$ 그때 $\forall x\,\sigma(x,y)$ 특히 $\sigma(y,y)$, 이것은 어리석은 일입니다. 그래서$\neg\sigma(0,y)$. 그러나 그것은$y$ 표준입니다.