시퀀스임을 증명 $\{a_n\}_n$에 의해 정의 $a_1=-\frac14$그리고 $-a_{n+1}=\frac{a_na_{n+1}+4}4$수렴하고 그 한계를 찾습니다.

Jan 29 2021

시도 및 공제를 확인하고 싶습니다. 작업은 다음과 같습니다.

시퀀스임을 증명$\{a_n\}_n$에 의해 정의$a_1=-\frac14$그리고$$-a_{n+1}=\frac{a_na_{n+1}+4}4$$수렴하고 그 한계를 찾습니다.

이것은 내가 지금까지 가지고있는 것입니다.

$$-a_{n+1}=\frac{a_na_{n+1}+4}4\iff a_{n+1}(a_n+4)+4=0\tag 1$$

몇 가지 용어를 계산했습니다.

$a_2(a_1+4)=-4\implies a_2=-\frac{16}{15}\\a_3(a_2+4)=-4\implies a_3=-\frac{15}{11}\\a_4(a_3+4)=-4\implies a_4=-\frac{44}{29}$

나는 가정했습니다$a_n<0\quad\forall n\in\Bbb N$.

그런 다음에서$(1)$그리고$a_{n+1}<0$, 다음과 같다

$\begin{aligned}a_{n+1}(a_n+4)&=-4\\\implies a_n+4&>0\\\implies a_n&>-4\end{aligned}$

그렇다면 귀납적으로$\,0>a_1>\ldots>a_{m-1}>a_m$일부$m\in\Bbb N,$우리는$\begin{aligned}a_{m-1}+4&>a_m+4>0\\\implies \frac1{a_{m-1}+4}&<\frac1{a_m+4}\\\implies \color{red}{a_m}=-\frac4{a_{m-1}+4}&>-\frac4{a_m+4}=\color{red}{a_{m+1}}\end{aligned}$

그래서, 시퀀스$\{a_n\}_n$단조롭고 경계가 있으므로 수렴합니다.

또한 더 강력한 진술을 증명할 수 있습니다.

$a_n>-2\quad\forall n\in\Bbb N$.

$$\begin{aligned}a_n+4&>-2+4=2>0\\\implies -\frac1{a_n+4}&>-\frac12\\\implies a_{n+1}=-\frac4{a_n+4}&>-\frac42=-2\end{aligned}$$

한계를 에 연결$(1)$, 우리는 얻는다$$L^2+4L+4=(L+2)^2=0\iff L=-2$$

따라서,$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=-2$.

내 가정과 결론에 오류가 있으며 다른 순서로 단계를 수행해야 합니까?

증명할 수 없다는 걸 알아$a_n<0\quad\forall n$기능 이후 유도에 의해$f:\Bbb R\setminus\{-4\}\to\Bbb R\setminus\{0\}$에 의해 정의$$f(x)=-\frac4{x+4}$$전체 도메인에서 단조롭지 않습니다.$(-\infty,-4)$그리고$(-4,+\infty)$갈라져.

또한 글을 쓸 생각을 했을 때$a_n=\frac{x_n}{y_n}$그런 다음$$\begin{aligned}a_{n+1}&=\frac{x_{n+1}}{y_{n+1}}\\&=-\frac4{\frac{x_n}{y_n}+4}\\&=\frac{-4y_n}{x_n+4y_n}\end{aligned}$$그리고 가정$x_{n+1}=-4y_n$그리고$y_{n+1}=x_n+4y_n$, 나는 균질한 재발을 얻었다$$\begin{aligned}y_{n+1}&=-4y_{n-1}+4y_n\\\iff y_{n+1}-4y_n+4y_{n-1}&=0\end{aligned}$$특성 다항식으로$$\lambda^2-4\lambda+4=(\lambda-2)^2$$다중 루트를 사용하므로 너무 복잡할 것이라고 생각했습니다.

매우 감사합니다!

답변

2 ZAhmed Jan 29 2021 at 23:26

$$-4A_{n+1}=A_n A_{n+1}+4$$

허락하다$A_n=\frac{B_{n-1}}{B_n}$ $$-4\frac{B_n}{B_{n+1}}=\frac{B_{n-1}}{B_n} \frac{B_n}{B_{n+1}}+4$$ $$\implies 4B_{n+1}+4 B_n+B_{n-1}=0$$허락하다$B_n=t^n$, 그 다음에$$\implies 4t+4+t^{-1}\implies t=-1/2.$$그 다음에$B_n=(Pn+Q)(-2)^{-n}$,$$ A_n=-2\frac{P(n-1)+Q}{Pn+Q}=-2\frac{n-1+R}{n+R}$$ $$A_1=-1/4 \implies R=1/7.$$마지막으로 해결 방법이 있습니다.$(1)$같이$$A_n=\frac{12-14n}{7n+1} \implies \lim_{n \to \infty}A_n=-2.$$