솔루션 세트 $\frac x{x+2}>0\land\frac{x+1}{x+2}<1$ [닫은]

Question

좋아요, $\Im$바보. 나는 문자 그대로 이틀 동안 이것을 작업했지만 여전히 이해할 수 없습니다.

다음은 질문입니다. $$\frac x{x+2}>0\land\frac{x+1}{x+2}<1$$솔루션 세트는 무엇입니까? [답변은$(0,\infty)$]

첫 번째 불평등 수단을 찾았습니다. $x > 0$ 두 번째는 말한다 $x > -2$ 하지만 그것은 내 강사가 제시 한 솔루션 세트를 만들지 않습니다. $(0,\infty)$.

Answer 1

추론의 문제는 음수를 곱하면 부등식 기호가 변경된다는 것입니다. 따라서$x > 0$에 대한 모든 실제 $x$, 그러나 $x + 2 > 0$.

첫 번째 부분에서는 케이스로 나누는 것이 좋습니다. 언제$x + 2 > 0$, 당신은 얻을 $x > 0$. 하지만 때$x + 2 < 0$, 다음 곱하기 $x+2$ 양쪽에 다음이 제공됩니다.

$$x \color{red}{<} x+2 $$

모두에게 사실입니다 $x$조건에서. 따라서 가능한 값$x$ 아르 $x > 0, x < -2$.

두 번째 부분에서는 $-\frac{1}{x+2} < 0$계속할 수 있도록 정확합니다. 여기에서 곱하기$-1$ 얻으려면 :

$$\frac{1}{x+2} \color{red}{>} 0$$

이제 비슷한 방법을 사용하여 가능한 값을 찾습니다. $x$.

Answer 2

이런 종류의 불평등을 해결하는 가장 좋은 방법은 다른 경우로 나누는 것이 아니라 $\underline{\text{combine the fractions}}$.

첫 번째 불평등 : $$\frac{x}{x+2} >0 \iff x(x+2)>0 \iff x \in (-\infty, -2)\cup (0, \infty) \tag 1$$

두 번째 불평등 : $$\frac{x+1}{x+2} < 1 \iff \frac{x+1}{x+2}-1 = - \frac{1}{x+2} < 0 \iff x+2 >0 \tag 2$$

(1)과 (2)를 결합하면 $x>0$.

다른 예는 기본 불평등 해결을 참조하십시오.

Answer 3

좋습니다. 먼저 첫 번째 부등식을 고려해 보겠습니다. $$\frac{x}{x+2}>0\tag{1}$$ 이것이 사실이기 위해 $x>0$ 따라서 상단과 하단이 모두 양수이거나 $x<-2$ 그래서이 불평등에 대한 해결책은 $x\in(-\infty,-2)\wedge(0,\infty)$.

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이제 두 번째 : $$\frac{x+1}{x+2}<1\tag{2}$$ $$1-\frac{1}{x+2}<1$$ $$-\frac 1{x+2}<0$$ $$\frac{1}{x+2}>0$$ 그리고 이것으로부터 해결책은 $x>-2$ 그래서 : $x\in(-2,\infty)$. 이제 두 가지가 동시에 사실이 되려면 이러한 도메인이 겹치는 위치를 찾아야합니다.$x\in(0,\infty)$