숫자 필드의 비 분열 2 차 확장의 수

Question

숫자 필드의 비 분류 2 차 확장의 수에 대한 일반 공식이 있습니까? $K$?

언제 $K$ 이차적이며 (속 이론에 의해) $2^{\omega(\Delta_K)-1}$, 어디 $\omega(n)$ 고유 한 소인수의 수를 나타냅니다. $n$ 과 $\Delta_K$ 판별자는 $K$. 결과에 관심이 있습니다.$K$ 더 높은 수준입니다.

이 문제는 훨씬 더 어려울 수 있으며 학급 그룹의 두 가지 비틀림을 이해하는 데 인접 할 수 있습니다. $\text{Cl}_K$( 어렵게 보일 때$K$이차적이지 않습니다),하지만 저는이 지역에 대해 꽤 처음이고 완전히 기지를 벗어 났을 수 있습니다. 보다 직접적인 접근 방식에 대한 희망이 있습니까?

Answer 1

대답은 '아니오'인 것 같습니다.

1. 비 분열 2 차 확장의 수 $K$ 이상적인 클래스 그룹의 인덱스 두 하위 그룹의 수와 같습니다. $\text{Cl}_K$ 클래스 필드 이론에 의해.
2. 인덱스-두 하위 그룹 $\text{Cl}_K$ 0이 아닌 요소에 해당 $\text{Hom}(\text{Cl}_K, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$.
3. $\#\text{Hom}(\text{Cl}_K, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) = \#\text{Cl}_K[2]$ 주석에서 @RP_ 및 @abx가 지적한대로 Pontryagin 이중성에 의해.
4. 크기 계산 (또는 경계) 문제 $\#\text{Cl}_K[2]$ 언제 $K$이차 확장이 아닙니다. 활발한 연구 가 진행 중이며 일반적으로 어려운 문제인 것 같습니다.