통합은 어디에서 끝나나요?
im 새로운 적분. 임 해결$$ \int \frac{1}{2x^2+6}$$ 그러나 나는 잘못된 대답을 얻었습니다. $$ \frac{1}{6}\arctan\frac{x}{\sqrt3}$$ 정답은 다음과 같아야합니다. $$ \frac{\sqrt3}{6}\arctan\frac{x}{\sqrt3}$$ 내 모든 시도는 다음과 같습니다. $$ \int \frac{1}{6(\frac{2x^2}{6}+1)} = \int \frac{1}{6(1+(\frac{x}{\sqrt3})^2)} = \frac{1}{6}\arctan\frac{x}{\sqrt3}$$ 저를 바로 잡고 배울 수있는 출처를 알려 주시겠습니까?
미리 감사드립니다!
답변
다음 단계를 포함 할 때까지 모든 방법이 정확합니다.
$${=\int \frac{1}{6\left(1 + \left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)^2\right)}dx}$$
당신은 사실을 잘못 적용하고 있습니다
$${\int \frac{1}{1+x^2}dx=\arctan(x)+c}$$
반드시 ${1+x^2}$- 아니 ${1+ax^2}$. 대신 다음 대체를 수행해야합니다.${u=\frac{x}{\sqrt{3}}}$ 얻기 위해
$${=\frac{\sqrt{3}}{6}\int\frac{1}{1+u^2}du=\frac{\sqrt{3}}{6}\arctan(u)+c=\frac{\sqrt{3}}{6}\arctan\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)+c}$$
필요에 따라.
주어진, $$\int \frac{1}{2x^2+6}$$
우리는 알고 있습니다.$$\int{\frac{1}{a^2+u^2}}dx = \frac{1}{a}\tan^{-1}(\frac{u}{a})+c$$
그래서,
$$\int \frac{1}{6(\frac{2x^2}{6}+1)}dx $$ $$= \int \frac{1}{6(1+(\frac{x}{\sqrt3})^2)}dx$$ 여기,$a=1$ 과 $u=\frac{x}{\sqrt3}$ 과 $du=\frac{dx}{\sqrt3}$,
즉, $dx={\sqrt3}du$
그래서 우리가 원하는 답은
$$\bbox[5px,border:2px solid red]{\frac{\sqrt3}{6}\arctan\frac{x}{\sqrt3}}$$
$$\int \frac{1}{2x^2+6}dx = \frac{1}{2}\int \frac{1}{x^2+3}dx$$
$$x = \sqrt{3}\tan{\theta}\Rightarrow dx = \sqrt{3}\sec^2{\theta}d\theta$$
대체를 적분 수익률로 다시 연결
$$\frac{\sqrt{3}}{2}\int \frac{\sec^2{\theta}}{3\tan^2{\theta}+3}d\theta = \frac{\sqrt{3}}{6}\int \frac{\sec^2{\theta}}{\sec^2{\theta}}d\theta$$
그래서 우리는 이제
$$\frac{\sqrt3}{6}\theta +c$$
이것은 부정적분이기 때문에 x로 답을 써야합니다. 우리의 치환을 되돌아보고 세타를 재배치하면 최종 답을 얻습니다.
$$\frac{\sqrt3}{6}\tan^{-1}(\frac{x}{\sqrt{3}})+c$$
당신의 문제는 최종 평등에 있습니다. 만약$F(x)$ 의 원시 $f(x)$, 그리고 $c\ne0$, 다음의 원시 $f(cx)$ 될거야 $\frac1cF(cx)$. 그래서, 이후$\arctan(x)$ 의 원시 $\frac1{1+x^2}$, 원시 $\frac1{1+(x/\sqrt3)^2}$ 될거야 $\sqrt3\arctan\left(\frac x{\sqrt3}\right)$.
대용품 $x=\sqrt3\,u$ $$ \begin{align} \int\frac{\mathrm{d}x}{2x^2+6} &=\frac{\sqrt3}6\int\frac{\mathrm{d}u}{u^2+1}\\ &=\frac{\sqrt3}6\arctan(u)+C\\ &=\frac{\sqrt3}6\arctan\left(\frac{x}{\sqrt3}\right)+C\\ \end{align} $$