토폴로지-모든 주입 몫 맵은 동종 형태입니다.
모든 주입 몫 맵이 동종이라는 것을 보여 드리겠습니다.
허락하다 $(X,\tau_{X})$, $(Y,\tau_{Y})$ 위상 공간이됩니다.
정의 :
$q:X \rightarrow Y$ 는 몫 맵입니다. $q$ 순전히 ($q[X] = Y$) 및 $$ \forall V\subseteq Y: V\in \tau_{Y} \iff q^{-1}[V] \in \tau_X $$ 어디 $[]$ 함수의 이미지를 나타내는 데 사용됩니다. $f:X \rightarrow Y$ 동종 성 iff입니다 $f$ bijective이고 $$ \forall U\subseteq X: U\in \tau_{X} \iff f[U] \in \tau_Y $$
정리 : $$\forall x \forall y: P(x,y) \implies Q(x)$$ 다음과 같다 $$\forall x: Q(x) \land \forall x \exists y: P(x,y)$$
기본형의 증명 : 증명
증명:
다음과 같은 경우를 보여주는 것으로 충분합니다. $q$ 주사제, $\forall V\subseteq Y: V\in \tau_{Y} \iff q^{-1}[V] \in \tau_X$ 다음과 같다 $\forall U\subseteq X: U\in \tau_{X} \iff q[U] \in \tau_Y$.
참고 : $q$ 보장 $q^{-1}[q[U]] = U$ 모든 $U \subseteq X$. 추측을 위해$q$, $\forall V \subseteq Y: \exists U \subseteq X: q[U] = V$ 논리적으로 필요합니다.
$$ \begin{align} &\forall V\subseteq Y: V\in \tau_{Y} \iff q^{-1}[V] \in \tau_X& \\ &\iff (\forall V\subseteq Y: V\in \tau_{Y} \iff q^{-1}[V] \in \tau_X) \land (\forall V \subseteq Y: \exists U \subseteq X: q[U] = V)& \text{Tautology}\\ &\iff \forall V\subseteq Y : \forall U \subseteq X: q[U] = V \implies V\in \tau_{Y} \iff q^{-1}[V] \in \tau_X & \text{Lemma}\\ &\iff \forall U \subseteq X: \forall V\subseteq Y : q[U] = V \implies q[U]\in \tau_{Y} \iff q^{-1}[q[U]] \in \tau_X &p \rightarrow q \iff p\rightarrow p \land q\\ &\iff \forall U \subseteq X: \forall V\subseteq Y : q[U] = V \implies q[U]\in \tau_{Y} \iff U \in \tau_X & \text{Injectivity}\\ &\iff (\forall U\subseteq X : q[U]\in \tau_{Y} \iff U \in \tau_X) \land (\forall U \subseteq X:\exists V \subseteq Y: q[U] = V) &\text{Lemma}\\ &\iff \forall U\subseteq X : q[U]\in \tau_{Y} \iff U \in \tau_X& \text{Tautology}\\ \end{align} $$
이 올바른지?
답변
귀하의 증명은 정확하지만 이해하기 어렵고 불필요하게 복잡합니다.
당신의 기본형은 순전히 논리적 인 진술이며, 그러한 진술로 구체적인 증명을 시작하는 것은 드문 일입니다. 사실, 모든 주장은 논리에 기초하고 있으며 우리는 그 토대를 당연한 것으로 받아 들여야합니다. 그렇지 않으면 모든 증명은 모든 논리적이고 설정된 이론적 문제에 대한 설명으로 시작해야합니다.
주장의 본질은 다음과 같습니다.
모든 몫지도 $q$ 연속적인 추측입니다.
모든 주 사용 몫 맵 $q$연속적인 bijection입니다. 따라서 다음과 같은 경우를 보여주는 것으로 충분합니다.$U \in \tau_X$, 다음 $p(U) \in \tau_Y$. 그러나 이것은 명백합니다$p^{-1}(p(U)) = U$ 주입 형 맵용.