운영자의 긍정

Question

기능 고려 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 수업의 $C^1$. 만약$f(0)=0$ 과 $f'(0)>0$ 일부가 존재하는 것이 분명합니다 $t_0>0$ 그런 $f(t_0)>0$.

이제 $f:\mathbb{R}\to \mathcal{M}^{n\times n}(\mathbb{R})$ 수업의 $C^1$, 어디 $\mathcal{M}^{n\times n}$ 진짜 다 $n\times n$ 행렬, if $f(0)=0$ 그리고 만약 $f'(0)$ 엄격하게 정의 된 행렬입니다. $t_0$ 그런 $f(t_0)$ 엄격하게 정의 된 행렬입니다.

질문은 운영자에게도 사실입니까? 특히$f:\mathbb{R}\to \mathcal{O}$ 수업의 $C^1$, 어디 $\mathcal{O}$ 분리 가능한 힐베르트 공간에있는 콤팩트 자체 인접 연산자의 집합입니다. $\mathcal{H}$. 허락하다$f(0)=0$ 그리고 그것을 가정 $f'(0)$ 콤팩트 한 포지티브 자체 결합 연산자입니다. $t_0$ 그런 $f(t_0)$ 긍정적입니까?

Answer 1

아니요. 반례 : Let $H = \ell^2$ 과 $M : H \to H$ ~에 의해 주어지다

$$ M(x_1, x_2, \cdots, x_n , \cdots) = \left( x_1, \frac{x_2}{2}, \cdots, \frac{x_n}{n}, \cdots \right).$$

그때 $M$콤팩트 (유한 순위 연산자의 한계), 자기 인접 및 양수입니다. 다음하자$\varphi: \mathbb R \to \mathbb R$ 부드러운 홀수 함수가되도록

• $\varphi(t) = t$ 의 위에 $[-1,1]$,
• $|\varphi (t)|\le 1.1$
• $\varphi$ 감소하고있다 $[1.1, 2]$ 과
• $ \varphi(t) = 0$ 의 위에 $[2, \infty)$.

각각 $n$, 정의 $\varphi_n (t) = \frac{1}{2^n }\varphi (2^n t)$. 밝히다$ M_t:=f(t)$ 으로 $$ M_t (x_1,x_2, \cdots, x_n, \cdots ) = \left(\varphi _1(t) x_1, \frac{\varphi_2(t)}{2} x_2, \cdots, \frac{\varphi_n (t)}{n} x_n, \cdots\right).$$

그때 $M_0 = 0$ 그리고 각각 $M_t$자기 인접, 유한 계급 (따라서 양수가 아님)입니다. 또한,$f$ 이다 $C^1$. 실제로 하나는 확인할 수 있습니다$$f'(t) (x_1,x_2, \cdots, x_n, \cdots ) = \left( \varphi_1'(t) x_1, \frac{\varphi_2'(t)}{2} x_2, \cdots, \frac{\varphi_n'(t)}{n} x_n, \cdots \right).$$ 이후 $\varphi_n'(0)=1$ 모든 $n$, 우리는 $f'(0) = M$.