왜 그렇게 큰 것을 대체하지 않는가 $n$ 으로 $(1+1/n)^n$ 오일러 수에 접근하는 값을 제공 $e$?

Question

오일러의 숫자가 무엇인지 묻고 싶습니다 $e$? 이해가 안 돼요.

내가 아는데 것을:

• $e$ 이다 $\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$ 같이 $n$ 무한에 도달

• $e$ 이다 $2.718281828\ldots$

질문:

내가 입력하면 $n = 1\ 000\ 000\ 000\ 000$, 나는 얻다 $2.718523496\ldots$,보다 높은 $2.718281828\ldots$.

계속해서 입력하면 $n = 1\ 000\ 000\ 000\ 000\ 000$, 나는 얻다 $3.035035207\ldots$ 그것은보다 훨씬 높습니다 $2.718281828\ldots$.

내가 뭔가를 놓쳤거나 실수 한 것 같아요.

공식을 오해 했습니까? 공식과$2.718281828$ 근사치 이상?

설명, 설명 및 수정에 대해 정말 감사하겠습니다. :)

시간 내 주셔서 감사합니다!

Answer 1

다음은 오류 분석입니다. 만약$$a_n=\left(1+\frac1n\right)^n$$ 그때 $$\ln a_n=n\ln\left(1+\frac1n\right)=n\left(\frac1n-\frac1{2n^2}+\frac1{3n^3}-\cdots\right)=1-\frac1{2n}+\frac1{3n^2}-\cdots.$$ 대형 $n$, $\ln a_n$ 매우 가깝다 $$1-\frac1{2n}$$ 그래서 $a_n$ 에 가깝다 $$e\exp(-1/(2n))=e\left(1-\frac1{2n}+\frac1{8n^2}-\cdots\right).$$ 실제로 $1/(8n^2)$ 여기에서 용어는 내가 무시한 가짜입니다 $1/(3n^2)$ 확장 기간 $\ln a_n$. 그러나 대략적인 추정$a_n$ 그게 $$a_n\approx e-\frac{e}{2n}.$$ 오류는 $1/n$.

취득 $n=10^{12}$ 말, 당신은 얻을 $11$ ...에 $12$올바른 소수점 이하 자릿수. 계산기에서 발생하는 오류는 부동 소수점 숫자 표현의 정밀도가 부족하기 때문에 의심 할 여지가 없습니다. 아마도 언더 플로 일 것 입니다.

Answer 2

컴퓨터의 부동 소수점 수학은 실제 수학 계산과 동일하지 않습니다. 우리가 사용했을 때$32$ 비트 수레는 $23$ 가수 비트, 약 $7.2$십진수, 그것은 모두가 걱정하는 문제 였고 수치 해석 과정의 많은 부분이 수치 정밀도의 문제를 피하는 데 집중했습니다. 이제 수레는$64$ 비트 $53$약간의 가수 문제가 크게 줄어들었지만 여전히 문제가있을 수 있습니다. 아주 작은 힘으로 올리면 생각할 수 있습니다.$(1+\frac 1n)^n=e^{(\log(1+\frac 1n)n)}$ 확장 $\log(1+\frac 1n)$ Taylor 시리즈에서.