약한 주문 단위로 수렴하는 Riesz 공간에서 약한 주문 단위의 그물을 고려하십시오. 약한 주문 단위 인 꼬리가 있습니까?
허락하다 $X$ 극도로 분리 된 (오픈 세트의 폐쇄가 열려 있음) 소형 Hausdorff 공간이어야하며 Riesz 공간을 고려하십시오. $C^\infty(X)$ 연속 기능의 $X$ 확장 된 실수 라인에 $\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}$ 그 사전 이미지 $\mathbb{R}$ 밀도가 높다 $X$. Ogasawara 정리에 따르면 이것은 보편적으로 완전한 Reisz 공간의 원형입니다.
그물 $(x_i)_i$ Reisz 공간에서 수렴하기 위해 $x$ 감소하는 그물이있는 경우 $(y_j)_j$ 무한한 0으로 $j$ 있다 $i_0$ 와 $|x_i-x|\le y_j$ 모든 $i\ge i_0$.
가정 $(f_i)_i$ 약한 순서 단위 (양의 반전 기능)의 그물입니다. $C^\infty(X)$즉, 모든 $f_i$ 세트 $\{x\in X\colon f_i(x)>0\}$ 밀도가 높다 $X$, 약한 주문 단위로 수렴 $f$. 그렇다면 사실입니까?$i_0$ 그런 $\inf_{i\ge i_0}f_i$ 약한 주문 단위입니까?
답변
사실이 아닙니다. 허락하다$X = \beta \mathbb{N}$, 그래서 $C(X) \cong l^\infty$. 각각$i, k\in \mathbb{N}$ 허락하다 $f_{i,k}$ 계속되는 기능 $1$ 의 위에 $\{1, \ldots, i\}$ 그리고 끊임없이 $\frac{1}{k}$ 나머지 $X$. 또한 보자$g_i$ 계속되는 기능 $0$ 의 위에 $\{1, \ldots,i\}$ 그리고 끊임없이 $1$ 나머지 $X$.
인덱스 세트 순서 $(i,k) \leq (i', k')$ 만약 $i\leq i'$ 과 $k \leq k'$. 순서$(g_i)$ 무한한 0으로 감소하고 각각에 대해 $i$ 우리는 $|f_{i',k} - 1_X| \leq g_i$ 모든 $i' \geq i$ 그리고 다 $k$. 그래서$(f_{i,k})$ 수렴하기 위해 $1_X$. 그러나 어떤$i_0$, $k _0$ 나중에 모두의 정수 $f_{i,k}$ 끊임없이 제로 오프 $\{1, \ldots, i_0\}$.