약한 연산자 토폴로지에서 연속 선형 연산자 시퀀스의 한계가 다시 연속 선형 연산자입니까?
Banach-Steinhaus 정리에서 우리는 $(A_n)_{n\in\mathbb N}\subseteq\mathfrak L(X,Y)$, 어디 $X$ Banach이고 $Y$ 표준 공간, 강력한 연산자 토폴로지로 수렴하면 강력한 연산자 토폴로지의 한계는 다시 경계가있는 선형 연산자입니다. $X$ ...에 $Y$.
이제 Hilbert 공간에서 읽었습니다. $H$ 다음과 같은 더 강력한 결과가 유지됩니다. $(A_n)_{n\in\mathbb N}\subseteq\mathfrak L(H)$ 약한 연산자 토폴로지로 수렴하면 약한 연산자 토폴로지의 한계는 다시 제한 선형 연산자입니다. $H$.
중요한 이유 $H$힐베르트 공간이란? 이전에 고려 된 사례에서 주장이 사실로 유지되지 않습니까?$(A_n)_{n\in\mathbb N}\subseteq\mathfrak L(X,Y)$, 어디 $X$ Banach이고 $Y$ 규범 공간?
만약 $E$ 표준 공간입니다. 우리는 $B\subseteq E$약한 경우에만 제한됩니다. 따라서 약하게 수렴하는 시퀀스는 표준 제한이 있습니다.
바로 다음과 같은 경우에는 $(A_n)_{n\in\mathbb N}\subseteq\mathfrak L(X,Y)$ 약하게 수렴하면 강력한 연산자 토폴로지에 제한되어 있으므로 Banach-Steinhaus 정리에 의해 균일 연산자 토폴로지에 제한됩니까?
답변
나는 당신이 말하는 것이 사실이라고 생각합니다. 나는 항상 약한 운영자 한계를 미리 가정했기 때문에 그것에 대해 생각하지 않았습니다.$A$ 의 $A_n's$ 항상 있었다 $A\in \mathfrak L(X,Y)$. 우리 자신을 확신시키기 위해 논쟁을 쓰고 있습니다. 사실, 우리는$Y$ 규범이 있지만 반드시 완전한 것은 아닙니다.
그래서, 가정하자 $A_n\overset{\text{wo}}{\to}A$ 약한 운영자 토폴로지에서 $A:X\to Y$선형 연산자이며 반드시 제한되지는 않습니다. 약한 운영자 토폴로지의 수렴은 다음과 같이 설명됩니다.$h(A_n x)\to h(A x)$ 매번 $x\in X$ 과 $h\in Y^*$. 이것은 세트가$\{A_n x: n\in \mathbb{N}\}$ 약하게 묶여있다 $Y$, 따라서 또한 $Y$. Banach-Steinhaus에 따르면 다음과 같습니다.$\sup_{n}||A_n||=M<\infty$. 이제$x\in X$ 와 $||x||=1$ 우리는 $$||Ax||=\max_{h\in Y^*,\, ||h||=1}|h(Ax)|$$ 그래서 몇 가지 $||h||=1$ 에 $Y^*$ 그런 $||Ax||=|h(Ax)|$. 약한 수렴을 사용하여$A_nx$ 우리는 \begin{align} ||Ax||&=|h(Ax)|\\ &=\lim_{n\to \infty}|h(A_nx)|\\ &\leq \underbrace{||h||}_{=1}\liminf_{n\to \infty}||A_n||\cdot \underbrace{||x||}_{=1} \end{align} 그 후, $||Ax||\leq M$ 매번 $||x||=1$ 따라서, $||A||\leq M<\infty$.
편집 : (댓글에 응답)
그러한 존재 $A$까다 롭습니다. 그러한 존재를 보장하기 위해 우리는 다음에 대한 또 다른 가정이 필요합니다.$Y$에서 이의 예 있기 때문에 여기 어디$X=Y=c_0$. 내가 그것을 증명하는 동안 내가 생각할 수 있었던 유일한 자연은$Y$반사적이어야합니다 (Banach 공간이 아닌 것에서 반사성까지 곧바로 나왔습니다 : P). 경우에$X=Y=H$ 힐베르트 우주입니다. 우리가 식별 할 수 있기 때문에 약간 더 쉬웠습니다. $H^*$ 와 $H$ 그리고 두 번째 듀얼을 엉망으로 만들 필요가 없습니다.
경우의 인수 $Y$ 다음은 반사적입니다.
한다고 가정 $\lim_{n}\langle A_n x, h \rangle$ 모두를 위해 존재 $x\in X$ 과 $h\in Y^*$. 고정 용$x\in X$ 허락하다 $f_x:Y^*\to \mathbb{R}$ 정의 $$\langle h, f_x\rangle =\lim_{n\to \infty}\langle A_n x, h\rangle$$ 확인하기 쉽습니다. $f_x$선형 함수이며 이전 논의에 의해 제한됩니다. 의미,$f_x \in Y^{**}$. 반사성에 의해 약간의$y_x\in Y$ 그런 $\langle h, f_x\rangle =\langle y_x, h\rangle$ 모든 $h\in Y^*$. 이제$x\overset{A}{\longmapsto} y_x$. 이제 확인하기 쉽습니다.$A:X\to Y$선형 연산자입니다. 이전 논의에 의해 또한 제한되어 있습니다.