양자 고조파 발진기, 영점 에너지 및 양자 수 n
양자 고조파 발진기의 에너지는 다음과 같이 주어집니다.
\ begin {equation} E_ {qho} = \ left (n + \ frac {1} {2} \ right) \ hbar \ omega, \; \; \; \; \; \; n = 0,1,2,3, ... \ tag {1} \ end {equation}
나는 하이젠 베르크의 불확실성 원리가 원자가 멈춰있는 것을 허용하지 않는다는 의미를 이해합니다. $0$ K.이 불확실성은 원자가 보유한 에너지에 대한 이유입니다. $0$K- 영점 에너지 (ZPE). 대부분의 텍스트는 ZPE를 소개합니다.$n = 0$ 여전히 남은 에너지는 $\frac{1}{2}\hbar\omega$.
이다 $n$숫자 만? 그렇다면 어떻게$n = 0$ 온도와 관련이 있습니까?
답변
제로 포인트 에너지는 여기서 중요하지 않습니다. 언제든 기준 에너지를 자유롭게 선택할 수 있기 때문에 다음과 같이 해밀 토니안 에너지를 이동할 수 있습니다. $\frac{1}{2}\hbar\omega$ $$ H = \frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^2x^2-\frac{1}{2}\hbar\omega, $$시스템의 물리는 동일하게 유지됩니다 (파동 함수는 동일합니다). 이 파동 함수는 0에 위치한 델타 함수가 아니라 (고전 역학 에서처럼) 더 넓게 퍼져 있기 때문에 예를 들어 해밀턴의 고유 상태에있을 때 원자가 여전히 진동하는 것으로 해석 할 수 있습니다.
귀하의 질문에 대해 : 예, $n$에너지 고유 상태를 가장 낮은 것에서 가장 높은 것까지 표시하는 숫자입니다. 온도는 간접적으로 만 작용합니다. 온도를 정의하려면 연관된 밀도 매트릭스를 사용하여 열 앙상블 (적절하게 수행하려면 둘 이상의 입자가 필요함)을 정의해야합니다.$\rho$. 이에 대한 일반적인 선택은 다음과 같습니다.$$ \rho = \frac{1}{z}\sum_{i=1}^{\infty}|i\rangle e^{-E_{i}/kT} \langle i|, z = \sum_{i=1}^{\infty}e^{-E_i/kT} $$ 어디 $|i\rangle$ 에너지 고유 상태를 나타내고 $E_i$ 해당 에너지 고유 값 (이 경우 고조파 발진기) $T$ 온도, $k$그냥 상수입니다. 파동 함수 확장 계수와 유사하게 해석 할 수 있습니다.$e^{-E_{i}/kT}/z$ 주에있을 확률 $|i\rangle$. 당신은$T\rightarrow 0$, 에너지 고유 값이 가장 낮은 계수 만 유지됩니다 (높은 계수를 가진 계수). $E_i$-값이 더 빨리 사라집니다). 여기에서 일반 시스템 (고조파 발진기 예뿐만 아니라)의 경우 시스템은 다음과 같은 경우 최저 에너지 상태가됩니다.$T\rightarrow 0$ (열 앙상블이있는 한).
양자 수 n은 단순히 고조파 발진기에 의해 주어진 다른 에너지 레벨을 나타냅니다.
$\mathbf{n=0}$주어진 온도에 해당하지 않지만 다른 에너지 수준에 대한 상대적 점유는 주어진 온도에 해당합니다. 시스템의 온도가 상승하면 더 높은 에너지 수준이 더 많은 수로 점유 될 수 있습니다. 마찬가지로 0K에서는 가장 낮은 에너지 수준 만 점유해야한다는 요구 사항이 있습니다.
이다 $n$ 숫자 만?
$n$실제로 숫자입니다. 숫자 일 뿐인가요? 음 그것은 양자 수 입니다.$n^{\textrm{th}}$ 시스템의 여기 에너지 수준 (예 : $(n+1)^{\textrm{th}}$ 시스템 해밀턴의 최소 고유 값 $n=0$가장 작은 고유 값에 해당하고 ,$n=1$두 번째로 작은 고유 값 등에 해당합니다 .
그렇다면 어떻게 $n = 0$ 온도와 관련이 있습니까?
고조파 발진기 전위가있는 시스템의 밀도 행렬은 종종 Hamiltonian $H$ 으로:
\ begin {equation} \ rho = \ frac {e ^ {-\ beta H}} {\ textrm {tr} \ left (e ^ {-\ beta H} \ right)}, ~~~~~~~~ \ beta \ equiv \ frac {1} {k_BT}. \ tag {1} \ label {eq : boltzmann} \ end {equation}
왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 밀도 행렬의 대각선은 다음에서 시스템을 찾을 확률을 알려줍니다. $n=0,1,2,\ldots$즉, 밀도 행렬의 왼쪽 상단 요소가 $p$, 시스템의 에너지 수준에서 발견 될 확률 $n=0$ 이다 $p$. 언제$T=0$ 우리는 시스템이 흥분 상태 ($n>0$)는 감소하는 지수에 의해 극도로 억제되며, 시스템을 찾을 수 있습니다. $n=0$수평. 언제$T$클수록 흥분된 상태가 더 많이 채워질 것입니다. 같이$T$ 구혼 $+\infty$, 지수는 1에 가까워지고 각 상태에 대해 확률이 동일 해지는 시나리오에 접근합니다. $n$.
식. 이 답변의 1도 다음과 같습니다.
- 식. 이 답변의 1 : 흡착 결합 에너지를 절대 온도로 변환
- 식. 3 in this answer : 자유 에너지 섭동에 대한 Zwanzig 방정식을 사용하여 (일시적으로) 근처의 미세 상태에서 자유 에너지 차이를 계산할 수 있습니까?
- 식. 이 답변의 2 : 양자 고조파 발진기, 영점 에너지 및 양자 수 n
이다 $𝑛$ 숫자 만?
요컨대 $n$ 양자 고조파 발진기의 에너지 양자 수입니다.
그렇다면 어떻게 $𝑛$=$0$ 온도와 관련이 있습니까?
특히, $n$=$0$고조파 발진기가 접지 상태를 유지함을 의미합니다. 일반적으로 양자 시스템의 바닥 상태는 영 (0) 온도에서 살고 있다고 가정합니다. 따라서 다음 사이의 연결을 찾을 수 있습니다.$n=0$ 그리고 영점.
여기에 제로 온도와지면 상태의 관계에 대해 이야기하는 게시물이 있습니다.
- https://physics.stackexchange.com/questions/294593/whats-the-relation-between-zero-temperature-and-ground-state-of-interacting-man
다음은 열 평형에 대해 이야기 할 크기에 대해 이야기하는 게시물입니다 (온도를 정의하는 데 중요합니다).
- https://physics.stackexchange.com/questions/311357/whats-the-size-to-talk-about-thermal-equilibrium
도움이 되길 바랍니다.
이미 다른 여러 답변에서 언급했듯이 $n$ 숫자 일 뿐이고 다른 주 인구는 $n$ 온도에 따라 다릅니다.
그러나 중요한 점은 아직 언급되지 않았습니다. 양자 고조파 발진기는 종종 핵 운동을 위해 호출됩니다. Born-Oppenheimer 핵 위치 에너지 표면의 2 차 테일러 확장에서 발생합니다.$V({\bf R}) = V({\bf R}_0) + \nabla V|_{{\bf R}={\bf R}_0} \cdot({\bf R}-{\bf R}_0)+\frac 1 2 ({\bf R}-{\bf R}_0)\cdot \nabla\nabla V|_{{\bf R}={\bf R}_0}\cdot ({\bf R}-{\bf R}_0) + \mathcal{O}(|{{\bf R}-{\bf R}_0}|^3)$
1 차 용어가 그 이후로 사라지는 곳 $\nabla V|_{{\bf R}={\bf R}_0} ={\bf 0}$ 최소한.
상태의 공간적 범위가 증가하기 때문에 $n$, anharmonic 효과의 중요성은 $n$, 또는 온도 상승.