열 방법 (Crane et Al) 우리는 어떻게 u를 선택합니까?
열 방법은 거리 계산에 대한 매우 흥미로운 논문입니다.
https://www.cs.cmu.edu/~kmcrane/Projects/HeatMethod/paperCACM.pdf
논문의 아이디어는 열이 본질적으로 측지선과 같은 방식으로 물체의 표면을 따라 이동한다는 것입니다. 따라서 열이 열점에서 지표면의 어느 지점으로 이동하는 데 걸리는 시간은 측지 거리와 양립 할 수 없습니다.
이 논문은 먼저 일반적이고 분석적인 사례를 고려한 다음 이산화 접근법을 제안합니다. 제가 매우 헷갈리는 것은 열 흐름 기능에 대한 언급입니다.$u$종이를 가로 질러. 예를 들어 다음 방정식을 고려하십시오.
이것이 적용되는 이산 라플라시안 연산자입니다. $u$ 또는 $\Delta u$. 이 논문에는 다음과 같은 여러 섹션이 있습니다.$u$. 내 독서에서$u$ 매니 폴드 표면의 열 흐름을 근사화하는 적절한 기능인 것 같습니다.
나는 실제로 형식의 방정식을 보지 못합니다. $u = \text{expression}$ 그 속성에 대한 설명이나 좋은 제안도 볼 수 없습니다. $u$함수. 뭐가$u$? 어디서$u$에서 왔습니까? 어디서$u$가다? 어디서$u$에서 왔습니까? 코탄, 나, 오?
답변
내 독서에서 u는 매니 폴드 표면의 열 흐름을 근사화하는 적절한 함수 인 것 같습니다.
$u$특정 필드에서 수량이 어떻게 행동 / 진화 하는지를 설명하는 함수입니다. 논문에서 양은 온도 또는 열유속이라고 생각합니다. 그러나 대부분의 경우 분석 솔루션 / 공식이 없습니다.$u$. 여기서 FEM (Finite Elements)과 같은 방법이 사용됩니다. 필드를 이산화하여 함수를 부분적으로 근사화 할 수 있습니다.$u$.
귀하의 경우에는 이미 표면의 이산화 인 메시를 사용합니다. 요소는 삼각형이며 각 삼각형 내부에 절점 수량이 보간되는 방식을 정의해야합니다. --- 여기서는 선형 보간이 아마도 갈 길일 것입니다. 그렇지 않으면 지오메트리를 다시 메시하거나 고차 근사를 위해 추가 노드를 도입해야합니다.
그런 다음 각 노드 / 정점에 초기 값을 할당해야합니다. $u_0$gilgamec의 답변에 쓰여진대로. 그 후에 유한 요소 시스템을 구축 및 해결하고 다음의 노드 분포를 얻습니다.$u$실제로 방정식 또는 방정식 시스템을 해결합니다. 메쉬가 미세할수록 솔루션이 더 좋습니다. 고차 보간도 정확도에 도움이됩니다.
그래서 $u$또는 그 노드 값은 전구가 그의 의견에서 말한 것처럼 실제로 찾고있는 것입니다. 알 수없는 수량입니다.
이것이 도움이되지 않는다면 유한 요소 방법에 대한 문헌을 읽어 볼 수 있습니다. 다음 링크가 얼마나 도움이되는지 알 수는 없지만 잠깐 살펴보면 유망 해 보였습니다. 그들이 사용하는 것을 볼 수 있습니다.$u$여기 저기. 그래서 그들 중 하나가 당신을 도울 것입니다.
- 유한 요소 방법에 대한 부드러운 소개
- PE281 유한 요소 방법 과정 노트
- 유한 요소 방법 소개
- 손으로 유한 요소 분석
또한 기본 사항을 이해하는 데 많은 도움이 된 마지막 링크와 유사한 좋은 온라인 자습서 링크가 있습니다. 링크를 찾으면 답변에 추가하겠습니다.
내가 언급 한 링크를 찾았습니다. 불행히도 독일어로되어 있습니다.
- FEM Handrechnung
예, 현장 $u$이 경우 표면 전체의 대략적인 열 확산입니다. 정점의 "초기 세트"로 시작하여 찾을 수 있습니다. 이것들은 확산의 근원이 될 것이고, 거리 필드에서 국소 최솟값으로 끝날 것입니다. 초기 배포$u_0$초기 설정의 값은 1이고 그 밖의 모든 곳은 0입니다. (이것은 링크 한 논문의 알고리즘 1 바로 아래에있는 92 페이지에 설명되어 있습니다.)
알고리즘의 첫 번째 단계는 선형 방정식을 풀어 열 방정식의 단일 단계를 실행하는 것입니다. $(I - t\nabla)u = u_0$(논문의 방정식 3). 필드$u$ 거리 필드를 얻기 위해 추가로 처리하는 대략적인 열 확산이 있습니다.