연결된 로컬 연결 세트의 특성화

Question

$T_1$ 우주 $X$ 모든 열린 덮개에 대해 연결되고 로컬로 연결됩니다. $\{U_\alpha\}$ 의 $X$ 포인트 쌍 $x_1,x_2$ 의 $X$, 유한 시퀀스가 ​​있습니다. $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$ 연결된 열린 하위 집합의 시퀀스 $V_1,\cdots,V_n$ 그런

1. $x_1\in V_1$, $x_2\in V_n$
2. $V_i\cap V_j\neq\varnothing$ iff $|i-j|\leq1$
3. $V_i\subseteq U_{\alpha_i}$ 모든 $i=1,\cdots,n$

이제 연결을 위해 $X$, 우리는 $x_1,x_2$ 의 $X$ 그리고 덮개를 엽니 다 $\{U_\alpha\}$, 우리는 시퀀스를 얻을 수 있습니다 $U_{\alpha_1},\cdots,U_{\alpha_n}$ 덮개에서

1. $x_1\in U_{\alpha_1}$, $x_2\in U_{\alpha_n}$
2. $U_{\alpha_i}\cap U_{\alpha_j}\neq\varnothing$ iff $|i-j|\leq1$

또한 $X$ 로컬로 연결되어 있으면 열린 세트의 각 구성 요소가 열려 있습니다.

자, 나는 $V_i$ 필수 구성 요소 $U_{\alpha_i}$, 적절하게 선택하여 조건 $1$ 과 $2$보류. 조건이 있으면 자동으로 처리됩니다.$3$. 그러나 나는 이것을 보여줄 수 없었다. 어떤 도움을 주시면 감사하겠습니다!

Answer 1

허락하다 $X$"개방 덮개 조건"을 만족하십시오. 그때$X$ 연결되어 있기 때문에 $x_1, x_2 \in X$ 연결된 하위 집합에 포함됩니다. $X$ ~의 조합을 $V_i$). 그것을 보여주기 위해$X$ 로컬로 연결되어 있습니다. $x_1 \in X$ 과 $U_1$ 열린 동네가되다 $x_1$. 연결된 열린 이웃을 찾아야합니다$V_1$ 의 $x_1$ 그런 $V_1 \subset U_1$. 세트$U = X \setminus \{x_1\}$ 이후 열려 $X$ 이다 $T_1$(이것은 우리가 필요한 유일한 장소입니다$T_1$-요구 사항). 따라서$\mathcal U = \{U_1, U\}$ 오픈 커버입니다 $X$. 선택$x_2 \in X$ (네가 원한다면 $x_2 = x_1$). 연결된 열림 시퀀스가 ​​있습니다.$V_i$당신의 상태에서와 같이. 우리는$x_1 \in V_1$. 게다가,$V_1$ 일부 구성원에 포함되어 있습니다. $\mathcal U$. 이후$x_1 \in V_1$, 그것은 불가능합니다 $V_1 \subset U$. 그러므로$V_1 \subset U_1$.

다음으로 그 반대를 증명합니다. 다음부터 시작하겠습니다.

정리 : Let $M_1,\ldots, M_r$ 의 일부가되다 $X$ 그런 $M_i \cap M_{i+1} \ne \emptyset$ ...에 대한 $i =1,\ldots,r-1$. 그런 다음 하위 집합이 있습니다.$\{k_1,\ldots,k_n\} \subset \{1,\ldots,r\}$ 그런 $1 = k_1 < k_2 <\ldots k_{n-1} < k_n=r$ 과 $M_{k_i} \cap M_{k_j} \ne \emptyset$ iff $\lvert i - j \rvert \le 1$.

증거 : 전화 $\{k_1,\ldots,k_n\} \subset \{1,\ldots,r\}$ 좋은 경우$1 = k_1 < k_2 <\ldots k_{n-1} < k_n=r$ 과 $M_{k_i} \cap M_{k_{i+1}} \ne \emptyset$ ...에 대한 $i = 1,\ldots,n-1$. 분명히$\{1,\ldots,r\}$좋다. 좋은 존재$\{k_1,\ldots,k_n\}$와 최소한의$n$ (혹시 $n = r$). 취하다$M_{k_i} \cap M_{k_j} \ne \emptyset$ 어떤 쌍을 위해 $(i,j)$ 그런 $\lvert i - j \rvert > 1$. 우리가 가정 할 수있는 Wlog$i < j$. 그때$\{k'_1 = k_1,\ldots,k'_i = k_i,k'_{i+1} = k_j,\ldots,k'_{n+1-(j-i)} = k_n\}$ 와 좋다 $n+1-(j-i) < n$, 모순.

기본형은 "개폐 상태"에서 2를 (분명히) 더 약한 상태로 대체 할 수 있음을 보여줍니다. $$V_i \cap V_{i+1} \ne \emptyset, i =1,\ldots,n-1 .$$ 허락하다 $\mathcal U$ 은폐하다 $X$. 에 대한$x_1,x_2 \in X$ 밝히다 $x_1 \sim x_2$ 연결된 열린 하위 집합의 유한 시퀀스가있는 경우 $V_1,\cdots,V_n$ 그런

1. 마다 $V_i$ 일부에 포함되어 있습니다 $U_{\alpha_i} \in \mathcal U$.
2. $x_1\in V_1$, $x_2\in V_n$
3. $V_i\cap V_{i+1} \neq\emptyset$ ...에 대한 $i = 1,\ldots,n-1$

$\sim$등가 관계입니다. 반사성은 로컬 연결성 (각각$x$ 일부에 포함되어 있습니다 $U \in \mathcal U$, 이제 $n=1$ 과 $V_1$ 연결된 모든 개방 $x \in V_1 \subset U$). 대칭과 전이성은 분명합니다.

등가 클래스 $[x_1]$ 에 관하여 $\sim $ 열려 있습니다 : 만약 $x_2 \in [x_1]$, 우리는 일련의 $V_i$위와 같이. 하지만 분명히$x_2 \in V_n \subset [x_1]$. 따라서 등가 클래스는$X$쌍으로 분리 된 오픈 세트로. 이후$X$연결 만있을 수 있습니다 하나의 등가 클래스입니다. 따라서 어떤 두$x_1,x_2 \in X$ 증명을 완료하는 동등합니다.

Answer 2

에서 이 대답 나는 연결성의 연쇄 특성을 제공합니다. 먼저 읽어보십시오. 나는 "iff"가 없습니다$|i-j| \le 1$"부분이지만 $T_1$-ness of $X$, 증거를 확인하십시오. 나는 개인적으로 분리 공리를 그런 식으로 혼합하는 것을 좋아하지 않습니다.

만약 $X$ 연결되어 있고 로컬로 연결되어 있습니다. $\{U_{\alpha \in A}\}$ 은폐하다 $X$. 그런 다음 각각$x \in X$ 우리는 $\alpha_x$ 및 연결 열기 $V_x$ 그런 $x \in V_x \subseteq U_{\alpha_x}$. 그런 다음 연결성의 체인 특성화를 적용하십시오.$X$ ...에 $\{V_x: x \in X\}$ 그리고 우리는 하나의 방향, 연결성과 지역적 연결성에서 커버의 존재를 보여주었습니다.

증명하는 방법 $X$"수정 된 체인 상태"에서 연결되고 로컬로 연결 되었습니까? 커버에 직접 컨디션을 적용하여 연결이 용이합니다.$\{U,V\}$ 언제 $U,V$ 의 단절입니다 $X$.

Moreoever, let $O$ 열려 있고, $p \in O$ 그리고하자 $C$ 의 구성 요소가되다 $p$ 에 $O$. 오픈 커버에 사실 적용$\{O,X\setminus \{p\}\}$ 의 $X$. 에 대한$y \in C$ 과 $p$ 우리는 개방적이고 연결되어 있습니다. $V_1,\ldots V_n$ 그런 $p \in V_1$, $q \in V_n$ 과 $V_i \subseteq O$ 또는 $V_i \subseteq X\setminus \{p\}$ 모든 $i$ 그리고 인접 $V_i$교차합니다. 사실 "체인"에는 길이가 있어야합니다.$2$ 생각해 보면 (!) $n=2$. 하지만$V_1 \cup V_2$ 연결되어 있고 $O$ 그리고 그것을 보여줍니다 $q$ 내부 지점입니다 $C$ 과 $X$ 로컬로 연결되어 있습니다.