연결성의 정의와 직감
우리는 위상 공간을 말합니다 $X$비어 있지 않은 두 개의 열린 하위 집합의 분리 된 결합으로 작성할 수없는 경우 연결됩니다. 직관적 인 연결성은 우리의 위상 공간이 하나의 조각이라는 것을 의미하며 위의 정의가 어떻게 직관을 포착하는지 알 수 없습니다. 도와주세요.
답변
코스라면 어떤 공간 $X$ 두 개 이상의 점을 갖는 것은 다음과 같이 쓸 수 있습니다. $A \cup B$,와 함께 $A,B$에, 해체 및 비 비어있는 많은 방법. 그러나 연결이 끊어진다는 것은$A$ "가까운" $B$ 그리고 요점이 없다 $B$ "가까운" $A$. 가깝다는 것은 클로저에 있음으로써 토폴로지에서 공식화됩니다. 그러니 공간을 불러$X$ 다음과 같이 쓸 수있을 때 연결이 끊어졌습니다. $A \cup B$, 둘 다 비어 있지 않고 $\overline{A} \cap B = \emptyset$ (점 없음 $B$ 에 가깝다 $A$) 및 $A \cap \overline{B} = \emptyset$ (점 없음 $A$ 에 가깝다 $B$). 그러나 이것은$$X\setminus B= A \subseteq \overline{A} \subseteq X\setminus B$$ 그래서 특히 $A=\overline{A}$ 과 $A$닫힙니다. 대칭 적으로$B$ 너무 닫히고 $A$ 과 $B$ 서로의 보완 물이고 $A$ 과 $B$ 열려 있습니다 (다음과 같이 볼 수도 있습니다. 예 : $x \in A$ 내부 지점이 아니었다 $A$, 모든 이웃 $x$ 비$A$ 포인트, 그래서 포인트 $B$, 같이 $A\cup B=X$. 그리고 모든 이웃이$x$ 교차 $B$, $x \in \overline{B}$,하지만 우리는 $x$ 의 $A$ 가까이 있었다 $B$...)
그래서 우리는 이 의미에서 연결이 끊어 지지 않은 공간을 "연결" 이라고 부르는 질문의 정의에 있습니다. 실제로 동시에 열린 부품, 동시에 닫힌 부품 또는 "분리 된"부품 (첫 번째 정의)에 대해 단절 정의에서 묻는 것과 동일합니다.
연결된 세트를 두 조각으로 자르면 절단 부위에서 두 조각 중 하나는 "열려"있고 다른 하나는 "닫힘"상태가됩니다. 예를 들어 실제 선을 두 조각으로 자르면$a\in\mathbb R$, 당신은 두 조각을 얻을 것입니다 $(-\infty,a],(a,\infty)$, 또는 $(-\infty,a),[a,\infty)$. 그들 중 적어도 하나는$a$. 절단에 속하는 점은 두 조각 중 하나에 포함되어야하며 해당 조각은 절단 점을 경계점으로 갖습니다. 더 복잡한 공간의 경우도 비슷합니다. 자른 선은 두 조각 사이에 분산되어 경계를 지정하여 열리지 않도록해야합니다.
물론 우리는 선 / 평면 / 무엇을 따라 잘라낼 필요는 없지만 직감이 가장 즉각적으로 분명한 경우입니다.