연속성과 관련된 증명 이해

Aug 17 2020

한다고 가정 $f:X\to \mathbb{R}$ 일부 연속 기능입니다 $f(y)>0$ 일부 $y\in X$. 나는 다음과 같은 증거를 읽었습니다.

이후 $f$ 연속적이며 열린 이웃이 있습니다. $U$$y$ 그리고 $\delta>0$ 그런 $f(x)\geq \delta$ ...에 대한 $x\in X$.

왜 존재하는지 이해할 수 없습니다. 무슨 일이 있었는지 설명해 주시겠습니까? 내가 거의 이해하는 방법은 다음과 같습니다.

  1. 이후 $f$ 연속적이며 열린 세트가 있습니다. $U$ 포함 $y$ 그런 $f(x)>0$ 모든 $x\in U$. 연속성의 정의로 이것이 어떻게 도달하는지 알 수 없습니다 ...

  2. 이후 $f>0$ 의 위에 $U$ 1), 우리는 선택 $\delta>0$ 너무 작아서 $f(x)\geq \delta$ 모든 $x\in U$. 허용됩니까? 그렇다면 그 이유는 무엇입니까?

답변

1 DoctorWho Aug 17 2020 at 11:55

취하다 $\delta = \frac{f(y)}{2}$. 그때$(\delta, \infty)$오픈 세트입니다. 연속성의 정의 (일반 위상 공간의 경우)에 따라$U = f^{-1}((\delta, \infty))$열려 있습니다. 그리고 분명히 정의에 따르면$y \in U$ 이후 $f(y) > f(y) / 2 = \delta$. 그리고 모두를 위해$x \in U$, 우리는 $f(x) > \delta$ 따라서 $f(x) \geq \delta$.