유한 원자 측정 공간은 셀 수있는 원자의 분리 된 결합 일 수 있음 [중복]

Question

측정 공간의 원자 A는 A의 측정 가능한 모든 하위 집합이 동일한 측정 값 A 또는 0을 갖도록 양의 측정 값이있는 측정 가능한 집합입니다.

원자 측정은 모든 측정 가능한 집합에 원자가있는 측정 공간입니다.

양의 원자 측정 공간이 있다고 가정 해 봅시다. $(X, \Sigma, \mu)$ 그런 $\mu(X)<\infty$. 나는 X가 원자들의 셀 수있는 분리 된 결합이고 측정 값이 0 인 집합임을 증명하고 싶습니다.

내 시도 :

X는 측정 가능한 집합이므로 원자가 존재합니다. $A_1 \subseteq X$, 만약 $\mu(X/A_1) = 0$ 우리는 정의하지 않았다면 $A_2$ 하위 원자로 $X/A_1$그리고 우리는 모든 n에 대해이 방법을 선행합니다. 내가 증명해야 할 것은$\mu(X/\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n) = 0$.

Answer 1

증명할 수 있는지 확실하지 않습니다. $\mu\bigl(X\setminus \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\bigr)=0$ 당신의 선택에 조건이 없기 때문에 $A_n$의 재귀 구조를 강화하면이 작업을 수행 할 수 있습니다. $A_n$'에스.

위의 인수는 "소진 인수" 의 예입니다. 우리는 모든 원자를 "소진"합니다.$X$.

허락하다 $\mathcal{A_1}=\{A\in \Sigma:\, A\subseteq A,\ A\ \text{is an atom}\}$ 과 $\alpha_1=\sup_{A\in \mathcal{A_1}}\mu(A)>0$. 그런 다음 원자를 찾습니다.$A_1\subseteq X$ 그런 $\mu(A_1)\geq 2^{-1}\alpha_1$(이것은 우리의 조건입니다). 당신이 말했듯이$B\subseteq X\setminus A_1$ 우리는 $\mu(B)=0$ 그런 다음 우리는 $X=A_1\cup B$그리고 우리는 끝났습니다. 지금 가정 해 봅시다.$X$원자의 유한 한 분리 결합과 제로 측정 세트로 쓸 수 없습니다. 그런 다음 이전과 같이 계속해서 재귀 적으로 시퀀스를 찾습니다.$A_n$ 그런 원자의

$1)$ $\mu(A_{n+1})\geq 2^{-1}\alpha_{n+1}$

$2)$ $\alpha_{n+1}=\sup_{A\in \mathcal{A_{n+1}}}\mu(A)$

$3)$ $\mathcal{A_{n+1}}=\{A\in \Sigma:\, A\subseteq X\setminus(A_1\cup...\cup A_{n}),\,\ $ㅏ$\, \text{is an atom}\}$

자, 만약 $A=\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n$ 우리는 그것을 보여줄 것입니다 $\mu(X\setminus A)=0$. 이후$A_n$에 의해 분리됩니다 $(1)$ 우리는 $$\mu(A)=\sum_{n=1}^{\infty}\mu(A_n)\geq \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\alpha_n}{2}$$ 지금, $\mu$ 유한하다는 것은 $\alpha_n\to 0$ 같이 $n\to \infty$. 이제$X\setminus A$긍정적 인 척도가 있습니다. 그때,$X\setminus A$ 원자를 포함합니다. $B$. 그러나$B\subseteq X\setminus A$ 그것을 의미 $B\subseteq X\setminus (A_1\cup ...\cup A_{n})$ 모든 $n$. 그래서, 이후$B$ 다음을 따르는 원자 $B\in \mathcal{A_{n+1}}$. 따라서 정의에 의해$\alpha_n's$ 우리는 가져야한다 $\mu(B)\leq \alpha_{n+1}$ 모든 $n$. 그래서,$B$ 측정 값이 0이어야합니다. 이는 $B$ 원자이며 양의 측정 값을 가져야합니다.