A convexidade estrita mais afinidade assintótica implicam em média limitada?

Question

Não tenho certeza se isso é exatamente no nível de pesquisa, mas estou lutando para encontrar uma prova para a seguinte afirmação:

Deixei $F:[0,\infty) \to [0,\infty)$ seja um $C^2$ função estritamente convexa.

Deixei $\lambda_n \in [0,1],a_n\le c_0<b_n \in [0,\infty)$ satisfazer $$ \lambda_n a_n +(1-\lambda_n)b_n=c_n $$ e suponha que $c_n \to c>c_0$.

Conjunto $D_n=\lambda_nF(a_n)+(1-\lambda_n)F(b_n)-F\big(c_n\big) $, e suponha que $\lim_{n \to \infty}D_n=0$

Pergunta: Deve$b_n$ ser limitado?

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Eu tenho uma prova bastante simples (que apresento abaixo) para o caso especial em que $a_n=a,c_n=c$ são sequências constantes, mas estou tendo problemas para generalizá-las.

A prova para o caso simplificado:

Nós temos $ \lambda_n a +(1-\lambda_n)b_n=c$.

Dado $x \ge r$, deixei $\lambda(x) \in [0,1]$ seja o número único que satisfaça $$ \lambda(x) a +(1-\lambda(x))x=c. $$ Nós temos $\lambda(b_n)=\lambda_n$. Definir$$g(x) = \lambda(x) F(a) + (1-\lambda(x))F(x).$$

A estrita convexidade de $F$ implica que $g$ é uma função estritamente crescente de $x$.

A suposição $D_n \to 0$ é equivalente a $g(b_n) \to F(c)$. Desde a$g(b_n) \ge F(c)$ (por convexidade) e $g$ está estritamente aumentando, concluímos que $b_n$ deve ser limitado.

Answer 1

Sim, $b_n$deve ser limitado. Suponha o contrário. Passando para uma subsequência, podemos supor que$a_n\to a$, $b_n\to \infty$. Nós temos$$\lambda_n=\frac{b_n-c_n}{b_n-a_n}\to 1;\, 1-\lambda_n=\frac{c_n-a_n}{b_n-a_n}\sim (c-a)b_n^{-1},$$ e usando $F(b_n)\geqslant F(c_n)+(b_n-c_n)F'(c_n)$ Nós temos $$ D_n+F(c_n)=\lambda_n F(a_n)+(1-\lambda_n)F(b_n)\geqslant \lambda_n F(a_n)+(1-\lambda_n)F(c_n)+(1-\lambda_n)(b_n-c_n)F'(c_n)\\ \to F(a)+(c-a)F'(c)>F(c), $$ portanto $\liminf D_n>0$.