Como calcular os comprimentos de arco de um grande círculo inclinado com o equador em $\phi°$ arrombado $12$ arcos por longitudes $30°$ separados?
Um grande círculo está em $\phi°$inclinação para o equador. Longitudes$30°$ separados são desenhados, o que divide o equador em $12$ arcos iguais de tamanho (raio da terra$*30$) Os arcos correspondentes no grande círculo inclinado terão comprimentos variáveis. Como calcular seus ângulos sutis para todos$12$ arcos?
O que eu consegui descobrir:
Aqui está o diagrama: Descrição do problema
$\phi =$ latitudes do ponto mais baixo e mais alto do grande círculo (ignorando os sinais, isto é $+/-$)
Comprimento do arco para ambos os círculos para $90°$ o ângulo subtendido é igual a um quarto da circunferência.
Tentei resolver com a regra Haversine & regra seno para trigonometria esférica , mas quando programada, a soma de$12$ arcos não é igual a circunferência da terra.
Motivação:
Os ângulos subtendidos dos arcos variam com a latitude e longitude. Esse cálculo é crucial para um software de astrologia que estou tentando construir. Agradecemos antecipadamente por qualquer ajuda!
Respostas
Pode ser melhor calcular os comprimentos de arco cumulativos.
Deixei $A$ ser um ponto onde o arco atinge o Equador e $B$ qualquer ponto para o qual você se move $A$. Porque$A$ pode ser qualquer um de dois pontos, podemos assumir sem perda de generalidade que $B$ é deslocado por $\le 180°$ longitude de$A$. Chame, portanto, deslocamento de longitude$\theta$.
Desenhar $\triangle ABP$ Onde $P$é um dos pólos. Então$\angle P$ medidas $\theta$, arco $AP$ mede 90 °, e $\angle A$ medidas $90°-\phi$.
Na resolução de triângulos, geralmente prefiro trabalhar com cossenos em vez de senos. A função cosseno é monotônica e fornece inverso inequívoco desde$0°$ para $180°$, enquanto a função seno dobra sobre si mesma conforme o argumento passa $90°$. Portanto, olhe para as leis do cosseno. Quando você tem dois ângulos e o lado incluído como aqui, a Segunda Lei dos Cossenos funciona melhor. Para este triângulo, a lei dá o seguinte para o terceiro ângulo$\angle B$:
$\cos \angle B = -\cos \angle A\cos \angle P+\sin \angle A\sin \angle P\cos AP$
Aqui, o segundo termo à direita zera como $AP$ medidas $90°$. Conectar os ângulos conhecidos acima e renderizar
$\cos \angle B = -\sin \phi\cos \theta$
Em seguida, aplicamos a mesma lei mais uma vez, desta vez com $\angle P$ no lado esquerdo:
$\cos \angle P = -\cos \angle A\cos \angle B+\sin \angle A\sin \angle B\cos AB$
Conectando valores conhecidos e usando o fato de que $\sin u =+\sqrt{1-\cos^2 u}$ para $0\le u\le 180°$, Nós temos
$\cos \theta = \sin^2 \phi\cos\theta+(\cos \phi)(\sqrt{1-\sin^2\phi\cos^2\theta})(\cos AB)$
$\cos^2 \phi\cos\theta=(\cos \phi)(\sqrt{1-\sin^2\phi\cos^2\theta})(\cos AB)$
e esta fórmula para o comprimento do arco $AB$:
$\color{blue}{\cos AB = \dfrac{\cos \phi\cos \theta}{\sqrt{1-\sin^2\phi\cos^2\theta}}} (0°\le\theta\le 180°)$