Compreender a prova de "intersecção não vazia de conjuntos fechados com FIP" implica compactação
Eu estava tentando entender a prova do seguinte teorema:
"Um espaço X é compacto se e somente se cada coleção de subconjuntos fechados de X que satisfazem a propriedade de interseção finita tem interseção não vazia."
As provas padrão desse teorema que estou vendo são as mesmas cobertas na questão abaixo:
Propriedade de interseção finita implica compactação?
Como na questão acima, eu poderia entender a prova de compactação implicando na interseção não vazia da coleção de conjuntos fechados com propriedade de interseção finita, entretanto, não estou claro sobre a prova para a outra direção.
Chegando à segunda prova, conforme previsto na primeira resposta acima, que é o seguinte:
Suponha que K tenha a propriedade de interseção finita. Para provar que K é compacto, seja {Ui} i∈I uma coleção de conjuntos abertos que cobrem K. Afirmamos que esta coleção contém uma subcoleção finita de conjuntos que também cobrem K.
Suponha que $K \neq\bigcup_{j \in J} U_j$ Onde $J\subset I$é finito. Receber elogios dá$K^c \neq \bigcap U_j^c$, que por hipótese não é vazio - uma vez que $U_i$ está aberto, $U_i^c$está fechado. Desde a$K$ tem o fip, portanto, temos isso
$ \emptyset \neq \bigcap_{i \in I} U_i^c = \left( \bigcup_{i \in I} U_i \right)^c$. Isso contradiz$U_i$ sendo uma capa aberta para $K$.
Aqui, não consigo ver o significado da parte desta prova com o conjunto finito $ J $ que está contido em $ I $. Não poderíamos ter começado diretamente com a parte seguinte?
$ \emptyset \neq \bigcap_{i \in I} U_i^c = \left( \bigcup_{i \in I} U_i \right)^c$
Mais importante, obtivemos uma contradição para {Ui} i∈I ser uma capa aberta do conjunto em questão. Não consigo ver como isso leva à compactação? Como ele determina a existência de uma subcapa aberta para todas essas capas abertas deste conjunto?
Eu vi uma prova semelhante no seguinte blog:
https://dantopology.wordpress.com/2009/11/30/the-finite-intersection-property-in-compact-spaces-and-countably-compact-spaces/
mas aqui também não pude ver como a contradição leva à existência de uma subcobertura.
Respostas
Uma família de conjuntos com a propriedade de interseção finita é considerada centrada ; por conveniência, usarei esse termo.
A prova de Dan Ma não é por contradição. Ele quer provar que, se cada família centrada em conjuntos fechados$X$ tem interseção não vazia, então $X$é compacto. Para fazer isso, ele prova a contraposição : se$X$ não é compacto, então $X$tem uma família centrada de conjuntos fechados cuja interseção está vazia. Isso é logicamente equivalente à implicação desejada.
O argumento em si é direto. Suponha que$X$não é compacto; então tem uma tampa aberta$\mathscr{U}$sem subcobertura finita. Para cada$U\in\mathscr{U}$ deixei $F_U=X\setminus U$, e deixar $\mathscr{F}=\{F_U:U\in\mathscr{U}\}$; claramente$\mathscr{F}$é uma família de conjuntos fechados. Deixei$\mathscr{F}_0$ ser qualquer subconjunto finito de $\mathscr{F}$. Existe um finito$\mathscr{U}_0\subseteq\mathscr{U}$ de tal modo que $\mathscr{F}_0=\{F_U:U\in\mathscr{U}_0\}$. Então
$$\bigcap\mathscr{F}_0=\bigcap_{U\in\mathscr{U}_0}F_U=\bigcap_{U\in\mathscr{U}_0}(X\setminus U)=X\setminus\bigcup\mathscr{U}_0\,.$$
$\mathscr{U}$ não tem subcobertura finita, então $\bigcup\mathscr{U}_0\ne X$, e portanto
$$\bigcap\mathscr{F}_0=X\setminus\bigcup\mathscr{U}_0\ne\varnothing\,.$$
Portanto, $\mathscr{F}$ é centrado: cada subconjunto finito de $\mathscr{F}$tem interseção não vazia. Mas
$$\bigcap\mathscr{F}=\bigcap_{U\in\mathscr{U}}(X\setminus U)=X\setminus\bigcup\mathscr{U}=\varnothing\,,$$
Desde a $\mathscr{U}$ é uma capa de $X$, assim $\mathscr{F}$ é uma família centrada de conjuntos fechados em $X$ cujo cruzamento está vazio.
A prova que você copiou em sua pergunta usa essencialmente a mesma ideia, mas a organiza como uma prova por contradição. Vou tentar apresentar isso com um pouco mais de clareza. Começamos com uma capa aberta arbitrária$\mathscr{U}=\{U_i:i\in I\}$ de um espaço compacto $K$, e supomos, para obter uma contradição, que não tem subcobertura finita. Então, para cada finito$J\subseteq I$ nós sabemos isso $\bigcup_{j\in J}U_j\ne K$. Agora para cada$i\in I$ deixei $F_i=K\setminus U_i$; então$\mathscr{F}=\{F_i:i\in I\}$ é uma família de conjuntos fechados em $K$, e para cada finito $J\subseteq I$ temos
$$\bigcap_{j\in J}F_j=\bigcap_{j\in J}(K\setminus U_j)=K\setminus\bigcup_{j\in J}U_j\ne\varnothing\,,$$
assim $\mathscr{F}$está centrado. Estamos assumindo que toda família centrada de conjuntos fechados em$K$ tem interseção não vazia, então concluímos que $\bigcap\mathscr{F}=\bigcap_{i\in I}F_i\ne\varnothing$. Mas então
$$\bigcup\mathscr{U}=\bigcup_{i\in I}U_i=\bigcup_{i\in I}(K\setminus F_i)=K\setminus\bigcap_{i\in I}F_i\ne K\,,$$
contradizendo o fato de que $\mathscr{U}$ é uma capa de $K$. Esta contradição mostra que deve, de fato, haver uma finita$J\subseteq I$ de tal modo que $\bigcup\{U_j:j\in J\}=K$, ou seja, tal que $\{U_j:j\in J\}$ é uma subcobertura finita.