Condições de convergência para um esquema iterativo

Question

Deixar$A$Seja uma matriz singular e simétrica, com$\lambda_1=0$e$\lambda_i >0$por$i=2,\ldots,n$.

Considere a iteração

$$x^{*} = b- (A-I)x_k$$ $$x_{k+1} = \alpha x^{*} +(1- \alpha)x_k$$

Em que condições em$x_0$,$\alpha$e$b$, ela converge para a verdadeira solução de$Ax =b$?

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Eu realmente não posso me mover. eu tentei calcular$e_{k+1}$mas não consegui encontrar nenhuma relação útil. Além disso, não sei como encontrar algumas restrições em$x_0$.

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EDITAR

Tentei seguir os comentários do @uranix e encontrei:$$e_{k+1} = \alpha b + (I - \alpha A) x_k -x $$

que eu reescrevo (usando consistência) como$$e_{k+1} = (I-\alpha A)(x_k -x)=(I- \alpha A)e_{k}$$

Portanto$$e_{k+1} = (I-\alpha A)^k e_0$$

Agora eu exigiria que o raio espectral fosse menor que$1$, mas desde$$\lambda(I -\alpha A)= 1-\lambda(A)$$Eu tenho que o primeiro autovalor é$1-\alpha \lambda_1=1-\alpha \cdot 0 = 1$

Portanto, não posso dizer nada sobre convergência... deve haver outra maneira. De fato, não usei simetria e também nenhuma condição em$x_0$, como está escrito no texto

Answer 1

Uma pequena dica.

Como eu disse nos comentários, considere a base de autovalor. Os vetores de base são ortogonais e podem ser dimensionados para formar uma base ortonormal:$$ A \phi_m = \lambda_m \phi_m, \quad m = 1, \dots, m\\ (\phi_m, \phi_{m'}) = \delta_{mm'}. $$

Expandindo vetores de erro sobre a base$e_k = \sum_{m=1}^n c_{k,m} \phi_m$permite reescrever a condição de convergência usando coeficientes de expansão. Usando a identidade de Parseval$$ \|e_k\|_2^2 = \sum_{m} c_{k,m}^2 $$nós obtemos isso$e_k \to 0$só acontece se para todo$m$cada coeficiente converge para zero, isto é$$ \lim_{k \to \infty} c_{k,m} = 0, \quad m = 1,\dots,n. $$

Atuando com$(I - \alpha A)^k$sobre$e_0$atua em cada autovalor separadamente:$$ e_k = (I - \alpha A)^k e_0 = (I - \alpha A)^k \sum_{m=1}^n c_{0,m} \phi_m = \\ = \sum_{m=1}^n c_{0,m} (I - \alpha A)^k \phi_m = \sum_{m=1}^n c_{0,m} (1 - \alpha \lambda_m)^k \phi_m. $$

Comparando o lado direito com$\sum_{m=1}^n c_{k,m} \phi_m$obtemos imediatamente a relação$$ c_{k,m} = (1 - \alpha \lambda_m)^k c_{0,m}. $$

Agora cabe a você encontrar as condições quando$\lim_{k \to \infty} c_{k,m} = 0$para cada$m = 1,\dots,n$.