Determinando a porcentagem da área do disco da lua sombreada em relação ao tempo
Procurei online e encontrei fontes como este artigo sobre um simulador de fases lunares, bem como este artigo sobre fases lunares.
Eu gostaria de ser capaz de modelar a área do disco lunar que está sombreada em relação ao ângulo da lua ou à hora do mês lunar e não tenho certeza de como fazer isso. Em essência, eu gostaria de ser capaz de encontrar uma função f (x) onde eu possa alimentar um valor como 0 (significando 0 dias desde o início do mês lunar) e eu seria capaz de obter uma saída como 0, pois é lua nova. Da mesma forma, f (14hsi) deve ser lua nova ou fig 5 na imagem abaixo e, portanto, obteria um valor próximo a 1.
Estou focado um pouco mais na matemática do que nos valores reais, então estou disposto a fazer suposições como a lua e a terra serem esferas perfeitas para o bem do modelo.

Sei que há muita matemática envolvida e vou ter que fazer alguma integração, mas agradeceria se alguém pudesse me indicar fontes para começar, já que os papéis que estou encontrando são da fase lunar de crianças planilhas ou não relacionadas a este tópico.
Respostas
Se eu interpretar sua pergunta corretamente, você deseja calcular a área do disco lunar vista da Terra, que está sombreada, correto? Você pode estar procurando uma maneira de calcular a posição da linha terminadora da lua . Para isso, talvez você precise mergulhar na mecânica celeste, mais especificamente sobre as efemérides da lua e da Terra. Isso é necessário porque você tem que calcular a posição da Terra e da lua em um sistema de coordenadas centrado no sol apropriado.
Em um curso básico de mecânica celeste isso não ocorre necessariamente, pois a prioridade é calcular a estabilidade da órbita dos objetos.
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Referências
Klaus Hempe, Jürgen Molt: Sterne im Computer. Berechnungsprogramme für den Hobby- Astronomen (1999). IMHO uma explicação acessível dos números, mas em alemão.
http://www.internetsv.info/MoonCalc.html parece útil.
O cálculo da fase da lua de Wolframalpha sempre fornece a porcentagem iluminada do disco lunar.