Diferença entre $\forall n\in\mathbb N$ e $\bigcap_{i = 1}^{\infty}$
Muito confuso sobre a diferença entre $\forall n\in\mathbb N$ e $\bigcap_{i=1}^\infty$.
Em Understanding Analysis, cito o Exercício 1.2.13. este
É tentador apelar à indução para concluir $(\bigcup_{i = 1}^\infty A_i)^c = \bigcap_{i=1}^\infty A_i^c$.
mas a indução não se aplica aqui. A indução é usada para provar que uma declaração particular é válida para cada valor de$n\in\mathbb N$, mas isso não implica a validade do caso infinito.
Tenho feito algumas pesquisas sobre isso por um tempo e entendi que, eventualmente, o fato de que posso apontar um $n\in\mathbb N$ significa que $n$é finito. Conseqüentemente, não pode ser aplicado ao caso infinito.
Sim, eu entendo o motivo. Mas se$\forall n \in\mathbb N$ não funciona, então o que funciona em provar caso infinito?
Assim como me sinto confortável com a diferença. A confusão é novamente levantada pelo livro e cito o seguinte, na esperança de torná-lo o mais curto possível:
A propriedade de intervalo aninhado assume que cada $I_n$ contém $I_{n+1}$. Eles são uma sequência aninhada de intervalos fechados definidos como tal.$I_n = [a_n, b_n] = \{x\in\mathbb R : a_n\leq x \leq b_n\}$.
A prova se concentra em encontrar um único número real x que pertence a todos $I_n$ e argumenta que é supA.
Na prova, dizia $x\in I_n$, para cada escolha de $n\in\mathbb N$. Conseqüentemente,$x\in \bigcap_{n=1}^\infty I_n$ e o cruzamento não está vazio.
Deixe-me saber se os detalhes perdidos são necessários. No entanto, meu ponto é apenas que:
- Por que na regra do infinito de Morgan $\forall n\in\mathbb N$ não se aplica a $\infty$
- Por que na propriedade de intervalo aninhado $\forall n\in\mathbb N$ aplica-se a $\infty$
Respostas
$\forall n\in\Bbb N$ nunca se aplica a$\infty$, Porque $\infty$ não é um elemento de $\Bbb N$. No teorema do intervalo aninhado, não há $I_\infty$. O que sabemos é que$x\in I_n$ para cada $n\in\Bbb N$e, portanto, por definição $n$ está na interseção dos conjuntos $I_n$. Você poderia chamar este cruzamento$I_\infty$ se você quisesse fazer isso, mas isso seria uma escolha arbitrária totalmente independente do argumento de indução envolvendo os conjuntos $I_n$; você poderia muito bem chamá-lo de George. (Muitos anos atrás, um amigo meu publicou de fato um artigo sobre um objeto matemático que ele chamou de George.)
Quanto à lei de De Morgan, pode-se provar isso para famílias arbitrárias de conjuntos simplesmente mostrando que cada lado da identidade proposta é um subconjunto do outro. Isso é feito para famílias de conjuntos indexados arbitrariamente aqui e nesta resposta (e provavelmente em outros locais no MSE também). A prova não depende do teorema para famílias finitas de conjuntos e não envolve qualquer tipo de indução.
A regra de De Morgan funciona para conjuntos infinitos. Mas isso não pode ser provado por indução na versão finita da Regra de De Morgan, uma vez que a indução é uma ferramenta para provar que uma afirmação é verdadeira para um valor arbitrariamente grande de$n$ (mas $n$ ainda é finito).
Quanto à interseção de um número infinito de conjuntos, isso decorre da definição. Nós dizemos isso$x \in \bigcap_{n=1}^\infty I_n$ sse $x \in I_n$ para todos $n \in \mathbb N$.