Encontrar valores próprios de uma matriz 3x3 dado determinante e traço

Question

Suponha que um $3×3$a matriz A tem apenas dois autovalores distintos. Suponha que$\operatorname{tr}(A)=−1$ e $\det(A)=45$. Encontre os valores próprios de$A$.

Resolvi um problema semelhante com uma matriz 2x2 usando as propriedades de traço e determinante (traço = a + d e det = ad-bc). Tentei usar a mesma abordagem para a matriz 3x3 sem sucesso, pois expressar o polinômio característico é muito mais complexo. Existe alguma outra abordagem que eu poderia adotar?

Answer 1

Suponha que seus autovalores sejam $x$ e $y$. sua matriz$A$ é semelhante a uma matriz diagonal $B$que tem seus autovalores em sua diagonal.
Agora, matrizes semelhantes têm o mesmo determinante e o mesmo traço, portanto, podemos chegar às seguintes equações:$$2x+y = -1$$ $$x^2y=45$$O primeiro é a soma da diagonal (sabemos que existem 2 autovalores únicos, portanto, um deles aparecerá 2 vezes na diagonal).
O segundo é o produto da diagonal (determinante da matriz diagonal).
$$... y=\frac{45}{x^2}$$ $$... x=-3 \space\space\space$$

E se $x=-3 => y=5$
$x^2y=45$ e $2x+y=-1$. E essa é a nossa resposta :)

Answer 2

Isso vale para uma matriz $A$ este $$ \sum_i \lambda_i = \operatorname{tr}(A), \quad \prod_i \lambda_i = \det(A) $$ Já que você tem um valor próprio duas vezes (eu suponho $\lambda_1$) isto resulta em: $$ 2 \lambda_1 + \lambda_2 = -1, \quad \lambda_1^2 \cdot \lambda_2 = 45 $$

// Editar: resultado corrigido: Você pode resolver isso e chegar a:

$\lambda_1 = -3, \quad \lambda_2 = 5$