Encontre a melhor constante neste problema de análise complexo

Dec 16 2020

Me deparei com um problema que me incomoda e é bem interessante, mas não consigo resolver. Aqui vai.

Deixei $(z_1, z_2, ... z_n)\in \mathbb{C^n}$, $J \subset$ {$1,2,..n$} para $\forall n \in \mathbb{N}$ e $ S_J := |\sum_{j \in J}z_j$|
Claramente$S_J\leq \sum_{j\in J}|z_j|\leq \sum_{j=1}^{n}|z_j|:=S$

Para $n=2$, provar que existe $J$, de tal modo que $S_J\geq aS$ e $a\in \mathbb{R}$. Provar que$a=\frac{1}{2}$é a melhor constante.
Para$n=3$, provar que existe $J$, de tal modo que $S_J\geq bS$ e $b\in \mathbb{R}$. Provar que$b=\frac{1}{3}$é a melhor constante.
Qual é a melhor constante se$n\geq 4$ ?

Respostas

2 RobertIsrael Dec 18 2020 at 04:30

Voce quer escrever $\left|\sum_{j \in J} z_j\right|$ Como $S_J$, não $S_j$: $j$ é apenas um "índice fictício".

Para $n=2$, $S_{\{1\}} + S_{\{2\}} = |s_1| + |s_2| = S$ assim $\max(S_{\{1\}}, S_{\{2\}}) \ge S/2$. Da mesma forma para$n=3$, $\max(S_{\{1\}}, S_{\{2\}}, S_{\{3\}}) \ge S/3$e em geral $\max(S_{\{1\}}, \ldots, S_{\{n\}}) \ge S/n$.

Para ver isso $a = 1/2$ é a melhor constante para $n=2$, Tu podes levar $z_1 = 1$ e $z_2 = -1$. Para ver isso$a=1/3$ é o melhor para $n=3$, Tu podes levar $z_1, z_2, z_3$ as três raízes cúbicas de $1$.

Eu não sei as melhores constantes quando $n > 3$.

EDIT: veja isto