Encontre o ângulo entre duas tangentes traçadas a partir do ponto $(0, -2)$ para a curva $y=x^2$
Encontre o ângulo entre as duas tangentes traçadas a partir do ponto $(0, -2)$ para a curva $y=x^2$.
Esta é minha tentativa:
vamos$P(\alpha, \beta)$ ser um ponto na curva. $$\therefore \beta = \alpha^2$$ $$\frac{dy}{dx}\quad \text{at}\quad P(\alpha,\beta) = 2\alpha$$ Equação da tangente em P: $2\alpha x-y=2\alpha^2-\beta \Rightarrow2\alpha x-y = 2\alpha^2 -\alpha^2$ $$\Rightarrow2\alpha x -y -\alpha^2 =0$$ A / Q $(0, -2)$ deve saciar esta equação. $\therefore 2\alpha\times0 - (-2) - \alpha^2 = 0\Rightarrow\alpha^2=2$ $$\therefore\alpha=\pm\sqrt2$$ $$\Rightarrow\beta=2$$ Agora, colocando esses valores para encontrar a inclinação$(m)=\frac{dy}{dx}=2\times\pm\sqrt2$ $$\therefore m = +2\sqrt2\quad and\quad -2\sqrt2$$ Nós sabemos disso por $\theta$= ângulo entre as linhas e $m_1\quad\&\quad m_2$ ser inclinação das linhas: $$\tan{\theta} =\big|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\big|$$ $$=\big|\frac{2\sqrt2-(-2\sqrt2)}{1+2\sqrt2\times-2\sqrt2}\big|= \big|\frac{4\sqrt2}{1-8}\big|=\frac{4\sqrt2}7$$
Minha resposta não corresponde ao livro. O livro é muito apreciado, então não pode estar errado. Não consigo encontrar um erro na minha solução. O livro afirma a resposta como$$\pi - 2\arctan\sqrt8$$
Edit: O livro realmente afirma sua resposta como$\pi - 2\arctan\sqrt8$. Eu era o cego que não conseguia ver os 2 .
Respostas
Acho que há dois erros em seu livro.
Primeiramente, $\theta$ deve ser um ângulo agudo porque falamos sobre o ângulo entre as tangentes e não dizemos sobre os segmentos das tangentes, mas $\pi-\arctan\sqrt8>\frac{\pi}{2}.$
Além disso, sua resposta $\arctan\frac{4\sqrt2}{7}$ é verdade e até $\arctan\frac{4\sqrt2}{7}\neq\arctan\sqrt8$.
Após a sua correção, precisamos provar que $$\tan(\pi-2\arctan\sqrt8)=\frac{4\sqrt2}{7},$$ o que é verdade porque $$\tan(\pi-2\arctan\sqrt8)=-\frac{2\cdot\sqrt8}{1-(\sqrt8)^2}=\frac{4\sqrt2}{7}.$$
Como você já derivou, o $x$-valores dos dois pontos na curva são $-\sqrt2$ e $\sqrt2$ (com um respectivo $y$-valor de $2$)
Vamos dar uma olhada na "tangente certa" $\big($em $(+\sqrt2,2)$$\ big) $ . Como a inclinação da tangente é $ 2 \ sqrt2 = \ sqrt8 $ , o ângulo entre o eixo $ x $ e esta tangente é $ \ arctan \ sqrt8 $ . Portanto, o ângulo entre essa tangente e o eixo $ y $ é $ {\ pi \ over2} - \ arctan \ sqrt8 $ . Finalmente, o dobro desse ângulo é o ângulo entre as duas tangentes, que de fato é $ \ pi-2 \ arctan \ sqrt8 $ .