Limite de erro no PNT sob alguma suposição semelhante a RH
Nas notas de aula, havia um exercício com o qual tenho dificuldade. Aqui,$\psi$denota a função de Chebychev . eu assumi que$$\psi(x)-x\in o(x^{1-\varepsilon})$$para alguns$0<\varepsilon<1/2$(que viria de uma versão menos forte da Hipótese de Riemann, que é alguma região livre de zeros da forma$\{\sigma>c\}$). Usando a soma por partes, escrevi$$\pi(x)=\frac{\psi(x)}{\log(x)}+\int_2^x\frac{\psi(t)}{t\log^2(t)}\text{d}t,$$o que me permitiu provar que$$\pi(x)-\text{Li}(x)\in O(x^{1-\varepsilon}).$$
Agora, no resto do exercício, pedem-me para provar que$$\pi(x)-\frac{x}{\log(x)}\notin o(x^{1-\delta})$$para qualquer$\delta>0$(este é o sentido em que$\text{Li}(x)$é uma aproximação melhor para$\pi(x)$do que simplesmente$\frac{x}{\log(x)}$). Como provar isso?
Se eu assumir o inverso, isto é,$$\pi(x)-\frac{x}{\log(x)}\in o(x^{1-\delta})$$para alguns$\delta>0$, então não tenho ideia de qual contradição devo obter.
Eu tentei as desigualdades clássicas:$$\pi(x)\log(x)\geqslant\psi(x)\geqslant\sum_{x^{1-\eta}\leqslant p\leqslant x}\log(p)=(1-\eta)[\pi(x)+O(x^{1-\eta})]\log(x),$$mas duvido que esteja me levando a algum lugar. Alguém tem alguma dica/ideia? O exercício não dá nada além de algumas curiosidades .
Respostas
Com base no que você provou, temos$$ \pi (x) - \frac{x}{{\log x}} = \operatorname{Li}(x) + \mathcal{O}(x^{1 - \varepsilon }) - \frac{x}{{\log x}} = \operatorname{Li}(x) - \frac{x}{{\log x}} + \mathcal{O}(x^{1 - \varepsilon }). $$Agora, pode-se mostrar, usando integração por partes, que$$ \operatorname{Li}(x) = \frac{x}{{\log x}} + \frac{x}{{\log ^2 x}} + \mathcal{O}\!\left( {\frac{x}{{\log ^3 x}}} \right). $$Portanto,$$ \pi (x) - \frac{x}{{\log x}} = \frac{x}{{\log ^2 x}} + \mathcal{O}\!\left( {\frac{x}{{\log ^3 x}}} \right) + \mathcal{O}(x^{1 - \varepsilon }) = \frac{x}{{\log ^2 x}} + \mathcal{O}\!\left( {\frac{x}{{\log ^3 x}}} \right) \notin o(x^{1 - \delta }). $$