Lógica da definição precisa de limites?

Question

Eu sou um calouro da faculdade estudando cálculo de Thomas. No momento, estou aprendendo a definição precisa de limites usando o método epsilon delta para usar em provas, etc.

Percebo que, ao provar o limite de uma função, o limite é fornecido primeiro e, em seguida, o método epsilon delta é usado. Mas isso não é como colocar a carroça na frente dos bois?

Por exemplo, digamos que preciso provar o limite de 5x-3 em x->1. Parece que a ordem prescrita é apenas usar a regra de substituição para polinômios, obter 2 como o limite e, em seguida, usar o método epsilon delta para mostrar que o limite é realmente 2. Isso me confunde porque o limite não deveria ser um 'desconhecido ' primeiro e uma prova ser usada para derivar o limite como 2. Como sei em primeiro lugar que o limite 2 deve ser usado como ponto de partida? A ordem lógica parece invertida para mim.

Answer 1

Você primeiro precisa de um palpite candidato/educado adequado para qual deve ser o limite. Então, somente depois disso, você pode usar a definição precisa para PROVAR que seu palpite inicial é realmente o caso. Além disso, você pode ver que isso é o melhor que você pode fazer simplesmente de como a definição de limites é dada:

Definição.

Deixar$f:\Bbb{R}\to \Bbb{R}$ser uma função,$a\in\Bbb{R}$. Nós dizemos$f$tem um limite finito em$a$se existe$l\in \Bbb{R}$tal que para cada$\epsilon>0$, existe$\delta>0$tal que para todos$x\in\Bbb{R}$, se$0<|x-a|<\delta$então$|f(x)-l|< \epsilon$.

(Nesse caso, podemos provar que$l$é único e o denotamos como$\lim_{x\to a}f(x)$)

Observe como a definição começa com "existe$l\in \Bbb{R} \dots$" Apenas pela forma como é formulado, sugere que antes mesmo de verificar o$\epsilon,\delta$critério, você precisa ter um valor candidato para o limite$l$. Em nenhum lugar a definição diz o que$l$é ou como adivinhar isso (esse "trabalho de adivinhação" é algo que você aprende ao longo do caminho à medida que aprende mais).

Por exemplo, se você tivesse duas funções$f$e$g$, com$\lim\limits_{x\to a}f(x) = l_1$e$\lim\limits_{x\to a}g(x) = l_2$, então, se tudo o que você fizer for olhar para a definição de limites, não há como dizer isso$f+g$também tem um limite e que o limite é igual a$l_1+l_2$. O único palpite natural seria que se$f+g$tinha um limite, então era melhor que fosse$l_1+l_2$.

Então, uma vez que você tenha esse palpite, prossiga para provar isso usando o método preciso$\epsilon,\delta$(onde o cerne da prova é a desigualdade triangular).