Norma sobre soma de espaços de função
Qual é a convenção para a norma dotada de uma soma de espaços$X+Y$, bem como na intersecção de espaços$X\cap Y$?
Estou lendo um artigo em que os autores usam uma soma de espaços de função sem escrever a norma explicitamente e não fazem mais comentários.
Estou pensando que talvez a norma mais plausível para$X\cap Y$é$\|f\|_X +\|f\|_Y$com a norma para$X+Y$então sendo$\min\{\|f\|_X,\|f\|_Y\}$.
Peço desculpas se esta pergunta for duplicada, caso em que ficarei feliz em excluí-la. Não consegui encontrar uma pergunta semelhante no math stackexchange.
Respostas
https://en.wikipedia.org/wiki/Interpolation_space
Assuma isso$X$e$Y$incorporar continuamente em um espaço vetorial topológico de Hausdorff$Z$(de modo a$X\cap Y$e$X + Y$faz sentido). As normas normalmente utilizadas são:$$ {\|x\|}_{X+Y} = \inf\{{\|x_1\|}_X + {\|x_2\|}_Y : x_1 + x_2 = x \} ,$$ $$ {\|x\|}_{X\cap Y} = \max\{{\|x\|}_X,{\|x\|}_Y\} .$$A norma para$X \cap Y$faz sentido e é equivalente à norma que você sugeriu. Por$X+Y$, o mínimo das duas normas, infelizmente, não é uma norma.
Em vez disso, pense no espaço$X \oplus Y$com a norma$\|(x,y)\| = {\|x\|}_X + {\|y\|}_Y$. Olhe para o subespaço$U = \{(x,x): x \in X\cap Y\}$. Então$X + Y$é isomorfo ao espaço quociente$(X \oplus Y) / U$. Isso fornece uma prova rápida de que$X + Y$equipado com a norma acima é de fato um espaço de Banach.