O rho zero de Spearman implica em covariância zero?

Question

À pergunta do título, eu "intuitivamente" responderia sim, pelo seguinte argumento informal: A
covariância "mede a força da associação linear" (quando dimensionada pelo produto dos desvios-padrão) entre duas variáveis, enquanto o rho de Spearman "mede a força de associação monótona. "

A associação linear é um subconjunto da associação monótona (não é?), Portanto, quando a medida da associação monótona é zero, a medida da associação linear também deve ser zero.

Mas aprendi minha lição (e portanto não sou uma ameaça para a sociedade) sobre os argumentos "intuitivos" fáceis em estatística. E minhas tentativas de examinar essa conjectura formalmente não foram frutíferas até agora.

Então: Um rho de Spearman zero implica covariância zero?

Podemos prová-lo formalmente ou contestá-lo até por meio de um contra-exemplo?

ATUALIZAÇÃO
Este artigo também fornece exemplos de que não existe tal relação

Answer 1

Contra-exemplo:

X Y
1 500
2 1
3 2
4 3
5 4

Para esses valores,

• Pearson's $r \approx -0.70$
• Spearman's $\rho = 0$

Esse único grande valor de Y afeta a covariância muito mais do que afeta o coeficiente de correlação de classificação de Spearman.

Answer 2

Não. Fácil de ver por quê. O caso de uso de correlação de classificação é quando não estamos satisfeitos com a correlação de Pearson, por exemplo, com sua tendência a cair para outliers. Portanto, a correlação de Spearman claramente não deve corresponder aos resultados da correlação de Pearson.

Às vezes, a correlação zero de Spearman coincide com a correlação zero de Pearson e, conseqüentemente, a covariância zero, mas não é um caso geral.