Onde está o erro nesta “prova” de que 3 = 0? [duplicado]
Vi esse vídeo (link embaixo), com uma suposta “prova” de que$3=0$. É o seguinte:
Deixei $x$ ser uma solução de $$x^2+x+1=0 \tag1$$
Desde a $x\neq0$, podemos dividir os dois lados por $x$: $$\frac{x^2+x+1}{x}=\frac0x\implies x+1+\frac1x=0 \tag2$$
De $(1)$, $$x^2+x+1=0\implies x+1=-x^2$$
Substituto $x+1=-x^2$ para dentro $(2)$ $$\begin{align*} -x^2+\frac1x&=0 \tag3\\ \frac1x&=x^2\\ 1&=x^3\implies x=1 \tag4 \end{align*}$$ Substituto $x=1$ para dentro $(1)$ $$\begin{align*} 1^2+1+1&=0\\ 3&=0 \end{align*}$$
A explicação dada no vídeo é
Substituindo $x+1=-x^2$ para dentro $(2)$ cria a solução estranha $x=1$ o que não é uma solução para a equação original $(1)$, $x^2+x+1=0$.
Equações$(1)$ e $(2)$ tem soluções $\frac{-1\pm i\sqrt3}{2}$, mas após a substituição, equação $(3)$ tem essas duas soluções e $1$.
Basicamente, está dizendo que o problema é substituir $x+1=-x^2$, mas não tenho certeza se esse é realmente o problema. Como uma substituição pode causar um problema se tudo antes da substituição estiver correto?
Depois de ler os comentários, percebi que muitos deles dizem que o verdadeiro problema é $(4)$, Porque $1=x^3$ também pode significar que $x=\frac{-1\pm i\sqrt3}{2}$. Desconsiderar essas soluções é o problema da "prova". Também é necessário verificar essas soluções antes de tirar conclusões e "escolher" a que for correta.
Então, minha pergunta é: qual é o problema com a "prova" acima de que $3=0$?
Vídeo: "Prove" 3 = 0. Você consegue identificar o erro? https://www.youtube.com/watch?v=SGUZ-8u1OxM.
Respostas
O problema é $x^3=1$ não implica que $x=1$. A equação$x^3-1=0$ tem três raízes possíveis e a raiz $x=1$ é uma raiz gerada adicionalmente.
Substituir um membro de uma equação em si mesmo pode introduzir soluções estranhas.
Por exemplo $$x=x^2\implies x^2=x^2.$$
Você pode fazer isso, desde que também mantenha a equação inicial.
As operações seguras são:
adicionar um termo para ambos os membros;
multiplicar ambos os membros por um fator diferente de zero;
aplicando uma transformação invertível a ambos os membros.
Qualquer outra coisa (por exemplo, quadratura de ambos os membros) deve ser feito com cuidado.
A substituição pode causar uma raiz estranha porque é uma etapa irreversível. Ou seja, é claro que se$x^2 + x + 1 = 0$, então nós temos $x + 1 + 1/x = 0$, $x+1 = -x^2$, e por substituição, $$ -x^2 + 1/x = 0. $$ No entanto, o inverso não é verdadeiro: se $-x^2 + 1/x = 0$, então não significa necessariamente que $-x^2 = x+1$, do qual seguir-se-ia $x^2 + x + 1 = 0$.
Na verdade, vemos que é assim que a solução $x = 1$ se encaixa: satisfaz $-x^2 + 1/x = 0$, mas não $-x^2 = x+1$.
Outra perspectiva: a substituição pode se resumir na seguinte multiplicação: $$ x^2 + x + 1 = 0 \implies\\ (-1 + 1/x)(x^2 + x + 1) = 0 \implies\\ -(x^2 + x + 1) + \frac 1x(x^2 + x + 1) = 0 \implies\\ -x^2 + 1/x = 0. $$ Multiplicando $x^2 + x + 1$ por outro fator deu ao polinômio outra raiz.
Deixei $x\ne0$. Então
$$x+1=-x^2\\\iff\\x+1=-\frac1x$$é verdade. Mas
$$x+1=-x^2\land x+1=-\frac1x\color{red}\iff-x^2=-\frac1x$$não é* ! A consequência lógica é apenas da esquerda para a direita.
Conforme mostrado no gráfico, as curvas de $-x^2$ e $-\dfrac1x$ se cruzam, mas não com $x+1$. Ao igualar os dois RHS acima, você perde informações e apresenta não soluções.
* Se você pensar nisso, seria como dizer
$$a=b\implies a=c\land b=c$$ tanto faz $c$.