Os funcionais de distância separam as medidas de probabilidade?
Deixei $(\Omega,d)$ ser um espaço métrico compacto e $\mathcal P(\Omega)$seu espaço de medidas de probabilidade Borel. Deixei$D=\{ d_p\mid p\in\Omega\}$ Onde $d_p(x)=d(p,x)$ser o conjunto de todos os "funcionais de distância". Como de costume, podemos pensar em$D$ agindo em $\mathcal P(\Omega)$ (ou vice-versa) via integração, ou seja $\langle d_p,\mu\rangle = \int_\Omega d_p(x)\,\mathrm d\mu(x)$.
Título da pergunta
Faz $D$ agindo em $\mathcal P(\Omega)$ através de pontos separados de integração?
Ou equivalente,
E se $\mu,\nu \in \mathcal P(\Omega)$ e $\langle d_p,\mu\rangle = \langle d_p,\nu\rangle$ para todos $p\in \Omega$, então deve $\mu=\nu$?
Formulações Alternativas
Existem algumas outras maneiras de enquadrar a questão também.
Formulação Probabilística
Reescrevendo todas as integrais conforme as expectativas se tornam a pergunta,
E se $\mathbb E_{X\sim\mu}[d_p(X)] = \mathbb E_{Y\sim\nu}[d_p(Y)]$ para todos $p\in \Omega$, então deve $\mu=\nu$?
Em outras palavras, saber a distância esperada até um ponto para todos os pontos determina a medida?
Formulação Geométrica
Lembre-se de que a distância 1-Wasserstein é dada por $W_1(\mu,\nu) = \inf_{\gamma\in\Gamma(\mu,\nu)} \int_{\Omega\times\Omega} d(x,y) \,\mathrm d\gamma(x,y)$ Onde $\Gamma(\mu,\nu)$ é o conjunto de acoplamentos entre $\mu$ e $\nu$ ou seja, medidas de probabilidade Borel em $\Omega\times\Omega$ com marginais $\mu$ e $\nu$respectivamente. Desde a medida do produto$\delta_p\otimes\mu$ é o acoplamento único entre uma medida delta de Dirac $\delta_p$ e $\mu$, nós temos isso
$$W_1(\delta_p,\mu)=\int_{\Omega\times\Omega} d(x,y)\,\mathrm d(\delta_p\otimes\mu)(x,y)=\int_\Omega d(p,y)\,\mathrm d\mu(y)=\langle d_p,\mu\rangle$$
Agora, a questão pode ser formulada geometricamente como
E se $W_1(\delta_p,\mu)=W_1(\delta_p,\nu)$ para todos $p\in \Omega$, então deve $\mu=\nu$?
Em outras palavras, conhecer o $W_1$ distância para os pontos extremos de $\mathcal P(\Omega)$ determinar completamente a medida de probabilidade?
Fórum de Transformação Integral
Defina a transformação de distância de$\mu\in\mathcal P(\Omega)$ como a função $\phi_\mu:\Omega\to\mathbb R$ dado por $\phi_\mu(p) = \int_\Omega d(p,x)\,\mathrm d\mu(x)$. A questão agora pode ser reafirmada como,
A transformada de distância é injetiva em $\mathcal P(\Omega)$?
Além disso, pela formulação geométrica, temos $\phi_\mu(p) = W_1(\delta_p,\mu)$. Vamos usar os fracos$*$ topologia para $\mathcal P(\Omega)$ (que coincide com o $W_1$topologia). Desde o mapa$p\mapsto \delta_p$ é uma incorporação de $\Omega$ para dentro $\mathcal P(\Omega)$, segue que $\phi_\mu:\Omega\to\mathbb R$é contínuo. Denote a distância transformada por$\Phi(\mu)=\phi_\mu$. Desde a$\mathcal P(\Omega)$ é compacta de Hausdorff e $C(\Omega)$ é Hausdorff, podemos reformular a questão como
E se $\Phi:\mathcal P(\Omega)\to C(\Omega)$ é contínuo, é uma incorporação?
Pensamentos finais
Algumas dessas afirmações equivalentes são verdadeiras? Infelizmente, apenas consegui reformular a questão e não identifiquei nenhuma prova clara, embora não me surpreendesse se houvesse uma fácil que estou esquecendo. A formulação geométrica do problema me leva a acreditar que$D$ de fato separa pontos em $\mathcal P(\Omega)$. No entanto, se a resposta for afirmativa, sinto as boas propriedades resultantes de$\Phi$tornaria algo que seria fácil de pesquisar. Qualquer ideia seria apreciada.
Atualização: à luz do elegante contra-exemplo de 4 pontos de George Lowther e da resposta afirmativa de Pietro Majer para$\Omega=[0,1]$, seria interessante entender melhor quais fatores determinam se o espaço métrico subjacente produz uma resposta afirmativa.
O contra-exemplo de George pode ser estendido para contra-exemplos onde $\Omega$é uma esfera (com métrica intrínseca). Assim, exigindo$\Omega$ser dimensionalmente positivo, múltiplo, conectado, conectado ao caminho, conectado simplesmente, etc., não fará com que o problema desapareça. Por outro lado, Pietro suspeita que a resposta seja novamente afirmativa no caso em que$\Omega$ é um subconjunto compacto convexo do espaço euclidiano.
Respostas
Não. Suponha que $\Omega$ consiste em quatro pontos dispostos em um quadrado, onde pontos adjacentes têm distância 1 entre eles e pontos opostos têm distância 2. Especificamente, se os pontos são rotulados A, B, C, D então \begin{align} & d(A,C)=d(B,D)=2,\\ & d(A,B)=d(B,C)=d(C,D)=d(D,A)=1. \end{align} Por exemplo, A, B, C, D podem ser igualmente espaçados em torno de um círculo, usando a métrica do círculo interno.
Existem precisamente duas medidas de probabilidade atribuindo probabilidade 1/2 a cada um dos dois pontos opostos e probabilidade zero aos dois pontos restantes. \begin{align} & \mu(\{A\})=\mu(\{C\}) = 1/2,\ \mu(\{B,D\})=0,\\ & \nu(\{B\})=\nu(\{D\})=1/2,\ \nu(\{A,C\})=0. \end{align}Você pode verificar se essas duas medidas fornecem a mesma integral para todas as ` funções de distância '. A distância média de cada ponto é igual a 1 em ambos.
Do lado positivo, a resposta é afirmativa se $\Omega$ é o intervalo da unidade $[0,1]$com sua distância padrão. Nesse caso$\phi_\mu$ é um convexo $1$-Função Lipschitz (na verdade, também é definida para todos $p\in\mathbb{R}$, com $\phi'(p)=\mathrm{sgn} p$ para $p\notin[0,1]$), com derivadas esquerda e direita $$\phi_-'(p)=\mu[0,p)-\mu[p,1]= 2\mu[0,p)-1$$ $$\phi_+'(p)=\mu[0,p] -\mu (p,1]= 2\mu[0,p] -1=1-2\mu(p,1]$$ de modo a $\mu$ é determinado em todos os intervalos, portanto, em todos os subconjuntos do Borel.
Por outro lado, observe que qualquer função convexa $\phi$como acima
pode ser escrito na forma$\phi(p)=\int_{[0,1]}|t-p|dm(t)$ para alguma medida de probabilidade Borel $m$ em $[0,1]$. Isto porque$g:= \frac{1}{2}\big(1-\phi_+'\big) $ é uma função cadlag limitada não negativa, então há uma função de probabilidade Borel $m$ de tal modo que $g(p)=m(p,1]$, de onde $\phi(p)=\int_{[0,1]}|t-p|dm(t)$ segue facilmente das relações acima.
Acho que a resposta também é afirmativa para $\Omega$ um conjunto compacto convexo de $\mathbb{R}^n$ com a distância euclidiana.