Representações integrais indecomponíveis de um grupo de ordem 2 "à mão"

Question

Esta pergunta é uma duplicata daquela pergunta do MO de 2010 .

Estou interessado em classificar classes de isomorfismo de $n$representações integrais dimensionais do grupo cíclico $C_2$ de ordem $2$. Claramente, qualquer representação integral de$C_2$é uma soma direta de representações integrais indecomponíveis .

O seguinte resultado é bem conhecido:

Teorema. O grupo$C_2$ tem exatamente 3 classes de isomorfismo de representações integrais indecomponíveis:

(1) trivial;

(2) a representação do sinal;

(3) a representação bidimensional com matriz $\left(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{smallmatrix}\right).$

Este resultado foi afirmado na resposta de Victor Protsak . Veja também a resposta de Todd Leason .

Em seu comentário, Victor Protsak dá uma referência. Ele escreve: "Curtis e Reiner, Capítulo 11. É um caso especial de um teorema na Seção 74 que classifica representações integrais de grupos cíclicos de ordem primária. Naturalmente, este caso é muito mais fácil e pode ser feito à mão."

Questão. Como provar o teorema acima "à mão", sem referência ao livro de Curtis e Reiner?

Motivação: estou trabalhando agora com álgebra$\mathbb R$-tori. Eles são classificados por representações integrais do grupo de Galois${\rm Gal}({\mathbb C}/{\mathbb R})$, que é um grupo de ordem $2$. A fim de compreender a conhecida classificação de indecomponíveis$\mathbb R$-tori, eu preciso entender a classificação bem conhecida de representações integrais indecomponíveis de ${\rm Gal}({\mathbb C}/{\mathbb R})$.

Eu fiz essa pergunta aparentemente elementar no Mathematics StackExchange , mas não obtive respostas ou comentários, então pergunto aqui.

Answer 1

Em Computing with real tori , Casselman tem uma boa descrição deste teorema do ponto de vista não apenas de provar que estes são os únicos toros indecomponíveis, mas, supondo que você receba uma representação integral explícita de$\operatorname C_2$, explicitamente encontrando / computando sua decomposição nessas três representações.

Na verdade, se você (você, leitor em geral, não necessariamente @MikhailBorovoi) não está familiarizado com o trabalho recente de Bill Casselman, vale a pena conferir sua página http://www.math.ubc.ca/~cass; ele esteve muito interessado por um tempo em fazer cálculos reais, no sentido de coisas que podem ser inseridas em um computador, relacionadas a grupos algébricos. O acima é um exemplo; outros podem ser encontrados emhttp://www.math.ubc.ca/~cass/research/publications.html, incluindo, por exemplo, O cálculo das constantes de estrutura de acordo com Jacques Tits - coisas que todos nós sabemos que podem ser feitas, mas que a maioria de nós (pelo menos eu!) evitaria realmente fazer , aqui apresentadas de uma forma que demonstra como para realizá-lo na prática.

(Há também algumas coisas boas sobre gráficos matemáticos !)