Todos os conjuntos têm um endomap rígido?
Deixar$X$seja um conjunto. Dois endomapas$f,f':X\to X$são isomórficos se houver uma bijeção$g:X\to X$de tal modo que$f'=g\circ f\circ g^{-1}$. Uma bijeção$g:X\to X$satisfatório$f=g\circ f\circ g^{-1}$é chamado de automorfismo de $f$. A identidade de$X$é o automorfismo trivial de$f$. Um endomap é rígido se não admite automorfismo não trivial.
Todos os conjuntos têm um endomap rígido?
Claramente, a existência de um endomap rígido de um determinado conjunto$X$depende apenas da cardinalidade$|X|$do$X$.
Nós reivindicamos:
Se$|X|\le2^{\aleph_0}$, então$X$possui um endomapa rígido.
Prova:
Deixar$X$ser um conjunto de cardinalidade no máximo$2^{\aleph_0}$, e vamos mostrar que$X$tem um endomapa rígido$f$. Podemos supor que$X$não está vazio.
Se$X=\{1,\ldots,n\}$com$n\ge2$montamos$f(i)=\max\{1,i-1\}$. Se$X=\mathbb N$montamos$f(i)=\max\{0,i-1\}$.
Agora assuma$\aleph_0<|X|\le2^{\aleph_0}$. (Nós escrevemos$|X|$para a cardinalidade de$X$.)
Deixar$I$ser o conjunto de classes de isomorfismos de endomapas rígidos de$\mathbb N$. Nós reivindicamos
(1)$|I|=2^{\aleph_0}$.
Vamos mostrar que (1) implica que$X$possui um endomapa rígido. Nós podemos assumir$$ X=\bigsqcup_{j\in J}X_j $$Onde$\bigsqcup$significa "união discreta", onde$J$é uma cardinalidade$|X|$conjunto de endomapas rígidos não isomórficos de$\mathbb N$, e onde$X_j=\mathbb N$para todos$j\in J$. Para cada$j$deixar$f_j$ser um endomapa de$X_j$do tipo$j$. Então$$ f:=\bigsqcup_{j\in J}f_j $$(notação óbvia) é um endomap rígido de$X$.
Resta apenas provar (1).
Deixar$X_0,X_1,\ldots$ser subconjuntos finitos não vazios de$\mathbb N$de tal modo que:
$\bullet\ \mathbb N=X_0\sqcup X_1\sqcup\cdots,$
$\bullet\ X_0=\{0\}$.
Por$n\ge1$deixar$f_n:X_n\to X_{n-1}$seja um mapa cujas fibras tenham cardinalidades distintas, seja$f_0$ser o único endomapa de$X_0$, e defina$f:\mathbb N\to\mathbb N$por$f(x)=f_n(x)$E se$x\in X_n$.
Então é fácil ver que$f$é rígido, e que temos muitas classes de isomorfismo contínuo de tais endomapas de$\mathbb N$.
Respostas
A pergunta foi respondida por YCor no MathOverlow.
Eu queria postar uma resposta do wiki da comunidade que continha apenas a frase acima, mas o software a converteu em um comentário. Estou tentando novamente depois de ter adicionado a presente frase e o seguinte trecho da resposta do YCor:
"... existe (por$X\neq\emptyset$) uma estrutura de árvore enraizada em$X$cujo grupo de automorfismo é trivial. De fato, concedendo isso e denotando$v_0$a raiz, para um vértice$v$definir$f(v)$Como$v_0$E se$v_0=v$, e como o único vértice em$[v_0,v]$na distância 1 a$v$por outro lado. Então$f\in X^X$e seu centralizador em$\mathrm{Sym}(X)$é o grupo de automorfismo da árvore enraizada correspondente, que se reduz a$\{\mathrm{id}_X\}$."